Cho tam giác ABC với đường trung tuyến BM tia phân giác góc BMA cắt AB tại P tia phân giác của góc BMC cắt CB tại Q chứng minh PQ song song với AC

Question

FQAchua · Accepted Answer

Từ giả thiết BM là trung tuyến, đặt $\displaystyle MA=MC=a$
Áp dụng tính chất của đường phân giác MP và MQ vào hai tam giác BMA và BMC ta được:
$\displaystyle \begin{cases}
\frac{BP}{AP} =\frac{BM}{AM} =\frac{BM}{a} & \
\frac{BQ}{QC} =\frac{BM}{CM} =\frac{BM}{a} &
\end{cases} \Longrightarrow \frac{BP}{AP} =\frac{BQ}{QC}$
Chứng tỏ đường thẳng PQ cắt hai cạnh AB, BC của tam giác ABC và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
nên PQ//AC ( theo định lí Ta lét đảo)

Timi · Answer

Để chứng minh PQ song song với AC, ta cần sử dụng một số kiến thức về tam giác và góc.

Đầu tiên, ta biết rằng đường trung tuyến BM chia đôi đoạn thẳng AC. Vì vậy, ta có:

$\frac{AP}{PB} = 1$ và $\frac{CQ}{QB} = 1$

Tiếp theo, ta biết rằng tia phân giác góc BMA cắt AB tại P. Do đó, ta có:

$\angle BMP = \angle AMP$

Và từ đây, ta có thể suy ra:

$\angle BPM = \angle APM$

Tương tự, tia phân giác của góc BMC cắt CB tại Q. Vì vậy, ta có:

$\angle BQM = \angle CQM$

Bây giờ, để chứng minh PQ song song với AC, ta cần chứng minh rằng:

$\angle BPQ = \angle BAC$

Để làm điều này, ta sẽ sử dụng các quy tắc về góc nội tiếp và góc ngoại tiếp.

Ta biết rằng góc nội tiếp và góc ngoại tiếp trên cùng một cung có cùng độ lớn. Vì vậy, ta có:

$\angle BPM = \angle BAC$ (góc nội tiếp trên cùng một cung BM)

$\angle BQM = \angle BAC$ (góc ngoại tiếp trên cùng một cung BQ)

Vì vậy, ta có:

$\angle BPM = \angle BQM$

Và từ đây, ta suy ra:

$\angle BPQ = \angle BAC$

Do đó, ta đã chứng minh được rằng PQ song song với AC.

Tóm lại, để chứng minh PQ song song với AC, ta sử dụng các kiến thức về tam giác và góc. Đầu tiên, ta sử dụng đường trung tuyến BM chia đôi đoạn thẳng AC. Sau đó, ta sử dụng tia phân giác góc BMA cắt AB tại P và tia phân giác góc BMC cắt CB tại Q. Cuối cùng, ta sử dụng quy tắc về góc nội tiếp và góc ngoại tiếp để chứng minh rằng $\angle BPQ = \angle BAC$, từ đó suy ra PQ song song với AC.