Cho MNP cân tại N , nội tiếp đường tròn (O). Đường cao NH cắt đường tròn tại K .
a) Chứng minh NK là đường kính của (O )
b) Tính số đo góc NPK
c) Biết MP = 24 cm, NP = 20 cm. Tính NH và bán kính của đường tròn (O)

Question

Cho MNP cân tại N , nội tiếp đường tròn (O). Đường cao NH cắt đường tròn tại K .
a) Chứng minh NK là đường kính của (O ) 
b) Tính số đo góc NPK 
c) Biết MP = 24 cm, NP = 20 cm. Tính NH và bán kính của đường tròn (O)

hainamm · Accepted Answer

a.
Tam giác MNP cân tại N nên NH là đường cao đồng thời cũng là đường trung trực của MP.
Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP nên O nằm trên đường trung trực của MP hay O thuộc NH.
Suy ra NK là đường kính của (O).
b.
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{NPK} =90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
c.
NH là trung trực của MP nên H là trung điểm của MP
HM=HP=12(cm)
Trong tam giác NHP vuông tại H có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
NH^{2} =NP^{2} -HP^{2} =20^{2} -12^{2}\
\Rightarrow NH=16( cm)
\end{array}$
Tam giác NPK vuông tại P, đường cao PH ( do NK vuông góc với MP)
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
NP^{2} =NH.NK\
\Rightarrow NK=\frac{NP^{2}}{NH} =25( cm) =2R\
\Rightarrow R=\frac{25}{2}( cm)
\end{array}$

Timi · Answer

1. Đây là một bài toán hình học trong đó chúng ta cần chứng minh một số tính chất của tam giác MNP và đường tròn (O). Cụ thể:
   a) Chúng ta cần chứng minh rằng NK là đường kính của đường tròn (O).
   b) Chúng ta cần tính số đo góc NPK.
   c) Chúng ta cần tính độ dài NH và bán kính của đường tròn (O).

2. Giải quyết từng phần một:

a) Để chứng minh rằng NK là đường kính của đường tròn (O), ta sử dụng tính chất của tam giác vuông. Vì NH là đường cao của tam giác MNP, nên ta có:
   $\angle NPH = 90^\circ$
   Vì NK cắt đường tròn (O) tại K, nên ta có:
   $\angle NKH = \angle NPH = 90^\circ$
   Do đó, ta có tam giác NKH là tam giác vuông tại K.
   Theo tính chất của tam giác vuông, đường kính của đường tròn nội tiếp tam giác vuông chính là cạnh huyền của tam giác vuông đó.
   Vậy, ta có $NK$ là đường kính của đường tròn (O).

b) Để tính số đo góc NPK, ta sử dụng tính chất của tam giác nội tiếp. Trong tam giác MNP, ta có:
   $\angle NPK = \frac{1}{2} \angle NPM$
   Vì tam giác MNP là tam giác cân tại N, nên ta có:
   $\angle NPM = \angle NMP$
   Do đó, ta có:
   $\angle NPK = \frac{1}{2} \angle NPM = \frac{1}{2} \angle NMP$

c) Để tính độ dài NH và bán kính của đường tròn (O), ta sử dụng tính chất của tam giác vuông và tam giác nội tiếp.
   Ta biết rằng trong tam giác vuông NKH, ta có:
   $NH^2 = NK^2 - KH^2$
   Ta cũng biết rằng trong tam giác vuông NPH, ta có:
   $NH^2 = NP^2 - PH^2$
   Vì PH là đường cao của tam giác MNP, nên ta có:
   $PH = \frac{1}{2} MP = 12$ cm
   Từ đó, ta có thể tính được độ dài NH.
   
   Để tính bán kính của đường tròn (O), ta sử dụng tính chất của tam giác nội tiếp. Trong tam giác MNP, ta có:
   $NP \cdot MP = NH \cdot OH$
   Vì ta đã biết NP và MP, cũng đã tính được NH từ phần trước, nên ta có thể tính được OH.

Tiếp theo, chúng ta sẽ giải quyết từng phần một.

호앙 · Answer

{"userId":5160173,"userName":"Kynn"}a) Chứng minh NK là đường kính của (O):
Vì MNP cân tại N, ta có MN = MP. Vì đường cao NH cắt đường tròn (O) tại K, nên NK là đường kính của (O).
b) Tính số đo góc NPK:
Vì MNP cân tại N, ta có NP = MP. Vì NK là đường kính của (O), nên góc NPK là góc vuông. Do đó, số đo góc NPK là 90 độ.
c) Tính NH và bán kính của đường tròn (O):
Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông NPK, ta có:
NK^2 = NP^2 - PK^2
Vì NK là đường kính của (O), nên NK = 2R (với R là bán kính của (O)).
Từ đó, ta có:
(2R)^2 = NP^2 - PK^2
4R^2 = NP^2 - PK^2
Từ MNP cân tại N, ta có NP = MP = 20 cm.
Vì đường cao NH cắt đường tròn (O) tại K, nên PK là đường cao của tam giác NPK. Vì vậy, PK = 1/2MN = 1/2MP = 1/2(20) = 10 cm.
Thay các giá trị vào công thức, ta có:
4R^2 = 20^2 - 10^2
4R^2 = 400 - 100
4R^2 = 300
R^2 = 75
R = √75 = 5√3 cm
Vậy, NH = PK = 10 cm và bán kính của đường tròn (O) là R = 5√3 cm.

Cho MNP cân tại N , nội tiếp đường tròn (O). Đường cao NH cắt đường tròn tại K . a) Chứng minh NK là đường kính của (O ) b) Tính số đo góc NPK c) Biết MP = 24 cm, NP = 20 cm. Tính NH và bán kính của...