Tìm các cặp số nguyên x,y thỏa mãn:
a)x^2−y^2=6x+8
b)x^2−2x−y^2+2y=1
c)x^2+2y^2+2xy−2x−8y+9=0

Question

trannhatduy · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
a,x^{2} -y^{2} =6x+8\
\Rightarrow x^{2} -6x+9-y^{2} =17\
\Rightarrow ( x-3)^{2} -y^{2} =17\
\Rightarrow ( x-3-y)( x-3+y) =17
\end{array}$
Vì $\displaystyle x,y\in \mathbb{Z}$ nên $\displaystyle x-3-y;x-3+y\ \in \mathbb{Z}$
Ta có: $\displaystyle 17=17.1=( -17) .( -1)$
Ta có các trường hợp sau:
+) TH1: $\displaystyle \begin{cases}
x-3-y=17 & \
x-3+y=1 &
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x-y=20 & \
x+y=4 &
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x=12 & \
y=-8 &
\end{cases}$
+) TH2: $\displaystyle \begin{cases}
x-3-y=1 & \
x-3+y=17 &
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x-y=4 & \
x+y=20 &
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x=12 & \
y=8 &
\end{cases}$
+) TH3: $\displaystyle \begin{cases}
x-3-y=-17 & \
x-3+y=-1 &
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x-y=-14 & \
x+y=-2 &
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x=-8 & \
y=-6 &
\end{cases}$
+) TH4: $\displaystyle \begin{cases}
x-3-y=-1 & \
x-3+y=-17 &
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x-y=2 & \
x+y=-14 &
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x=-6 & \
y=-8 &
\end{cases}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
b,\ x^{2} -2x-y^{2} +2y=1\
\Leftrightarrow x^{2} -2x+1-\left( y^{2} -2y+1 ight) =1\
\Leftrightarrow ( x-1)^{2} -( y-1)^{2} =1\
\Leftrightarrow ( x-y)( x+y-2) =1
\end{array}$
Vì $\displaystyle x,y\in \mathbb{Z}$ nên $\displaystyle x-y,x+y-2\in \mathbb{Z}$
Ta có: $\displaystyle 1=1.1=-1.( -1)$
Do đó ta có các trường hợp sau:
+)TH1: $\displaystyle \begin{cases}
x-y=1 & \
x+y-2=1 &
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x-y=1 & \
x+y=3 &
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x=2 & \
y=1 &
\end{cases}$
+)TH2: $\displaystyle \begin{cases}
x-y=-1 & \
x+y-2=-1 &
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x-y=-1 & \
x+y=1 &
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x=0 & \
y=1 &
\end{cases}$

Timi · Answer

Bài toán a) là một phương trình bậc hai với hai ẩn x và y. Chúng ta sẽ giải bài toán này bằng cách hoàn thành khối vuông.

Bước 1: Đưa các thành phần chứa x và y về cùng một phía của phương trình:
x^2 - y^2 - 6x - 8 = 0

Bước 2: Nhận thấy rằng phương trình có dạng khối vuông của hiệu bình phương của hai số, nên ta có thể viết lại phương trình theo dạng:
(x - y)^2 - 6(x - y) - 8 = 0

Bước 3: Đặt t = (x - y), ta có phương trình sau:
t^2 - 6t - 8 = 0

Bước 4: Giải phương trình bậc hai trên, ta có:
(t - 8)(t + 1) = 0

Bước 5: Từ đó, ta có hai giá trị của t:
t = 8 hoặc t = -1

Bước 6: Thay giá trị của t vào biểu thức t = (x - y), ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: x - y = 8
Trường hợp 2: x - y = -1

Bước 7: Giải từng trường hợp:
Trường hợp 1: x - y = 8
Thay x - y = 8 vào phương trình ban đầu, ta có:
(x - y)^2 - 6(x - y) - 8 = 0
8^2 - 6(8) - 8 = 0
64 - 48 - 8 = 0
8 = 0 (vô nghiệm)

Trường hợp 2: x - y = -1
Thay x - y = -1 vào phương trình ban đầu, ta có:
(x - y)^2 - 6(x - y) - 8 = 0
(-1)^2 - 6(-1) - 8 = 0
1 + 6 - 8 = 0
-1 = 0 (vô nghiệm)

Vậy, phương trình không có cặp số nguyên x và y thỏa mãn.

Tiếp theo, chúng ta sẽ giải bài toán b) bằng cách hoàn thành khối vuông.

Bước 1: Đưa các thành phần chứa x và y về cùng một phía của phương trình:
x^2 - 2x - y^2 + 2y - 1 = 0

Bước 2: Nhận thấy rằng phương trình có dạng khối vuông của hiệu bình phương của hai số, nên ta có thể viết lại phương trình theo dạng:
(x - 1)^2 - (y - 1)^2 = 1

Bước 3: Đặt u = (x - 1) và v = (y - 1), ta có phương trình sau:
u^2 - v^2 = 1

Bước 4: Phân tích phương trình theo công thức khai triển khối vuông của hiệu bình phương:
(u + v)(u - v) = 1

Bước 5: Ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: u + v = 1 và u - v = 1
Trường hợp 2: u + v = -1 và u - v = -1

Bước 6: Giải từng trường hợp:
Trường hợp 1: u + v = 1 và u - v = 1
Giải hệ phương trình này, ta có:
u = 1 và v = 0

Thay giá trị của u và v vào biểu thức u = (x - 1) và v = (y - 1), ta có:
x - 1 = 1 và y - 1 = 0
x = 2 và y = 1

Trường hợp 2: u + v = -1 và u - v = -1
Giải hệ phương trình này, ta có:
u = 0 và v = -1

Thay giá trị của u và v vào biểu thức u = (x - 1) và v = (y - 1), ta có:
x - 1 = 0 và y - 1 = -1
x = 1 và y = 0

Vậy, các cặp số nguyên x và y thỏa mãn phương trình là (2, 1) và (1, 0).

Cuối cùng, chúng ta sẽ giải bài toán c) bằng cách hoàn thành khối vuông.

Bước 1: Đưa các thành phần chứa x và y về cùng một phía của phương trình:
x^2 + 2y^2 + 2xy - 2x - 8y + 9 = 0

Bước 2: Nhận thấy rằng phương trình có dạng khối vuông của tổng bình phương của hai số, nên ta có thể viết lại phương trình theo dạng:
(x + y)^2 + (y - 4)^2 + (x - 1)^2 = 0

Bước 3: Vì các bình phương không thể âm, nên ta có:
(x + y)^2 = 0
(y - 4)^2 = 0
(x - 1)^2 = 0

Bước 4: Giải từng phương trình trên, ta có:
x + y = 0
y - 4 = 0
x - 1 = 0

Bước 5: Từ đó, ta có ba giá trị của x và y:
x = 1, y = -1
x = 4, y = 4
x = 1, y = 4

Vậy, các cặp số nguyên x và y thỏa mãn phương trình là (1, -1), (4, 4) và (1, 4).

Tìm các cặp số nguyên x,y thỏa mãn: a)x^2−y^2=6x+8 b)x^2−2x−y^2+2y=1 c)x^2+2y^2+2xy−2x−8y+9=0