Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D đối xứng với điểm A qua BC. a/ Chứng minh tứ giác ABDC là hình thoi. b/ Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC, lấy điểm...

Bài 11: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a/ Chứng minh tứ giác ABDC là hình thoi. 1. Tính chất đối xứng: - Do D là điểm đối xứng của A qua BC, nên BC là đường trung trực của đoạn thẳng AD. Điều này có nghĩa là BD = CD và BD vuông góc với AD. 2. Tam giác ABC cân tại A: - Vì tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC. 3. Chứng minh ABDC là hình thoi: - Từ các tính chất trên, ta có: - AB = AC (do tam giác ABC cân tại A). - BD = CD (do D đối xứng với A qua BC). - AD = AD (chung). - Do đó, tứ giác ABDC có bốn cạnh bằng nhau, nên ABDC là hình thoi. b/ Chứng minh hai tam giác AOB và MBO vuông và bằng nhau. 1. Xét tam giác AOB: - Gọi E là trung điểm của AB, nên AE = EB. - Gọi O là điểm sao cho E là trung điểm của OM, nên OE = EM. 2. Xét tam giác MBO: - M là trung điểm của BC, nên MB = MC. - Do E là trung điểm của OM, nên OE = EM. 3. Chứng minh tam giác AOB và MBO vuông: - Vì E là trung điểm của OM và AE = EB, nên tam giác AOB và MBO có: - AO = BO (do E là trung điểm của OM). - Góc AOB = 90 độ (do tam giác AOB vuông tại O). - Góc MBO = 90 độ (do tam giác MBO vuông tại O). 4. Chứng minh hai tam giác AOB và MBO bằng nhau: - Tam giác AOB và MBO có: - AO = BO (chung). - OB = OB (chung). - Góc AOB = Góc MBO = 90 độ. - Do đó, tam giác AOB và MBO bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c). c/ Chứng minh tứ giác AEMF là hình thoi. 1. Xét các trung điểm: - E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AC, và M là trung điểm của BC. 2. Chứng minh AEMF là hình thoi: - Vì E và F lần lượt là trung điểm của AB và AC, nên AE = EB và AF = FC. - M là trung điểm của BC, nên BM = MC. - Do đó, các đoạn thẳng AE, EF, FM, MA đều bằng nhau. - Tứ giác AEMF có bốn cạnh bằng nhau, nên AEMF là hình thoi. Với các lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.