Bài 4.(3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Vẽ AD là phân giác của góc BAC ( De BC). Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = AB. a) Chứng minh: Tam giác ABD = Tam giác AMD. b) Chứng minh: Tam giác B...

1. Đây là một bài toán hình học trong tam giác. Chúng ta cần chứng minh các quan hệ và tính chất của các tam giác đã cho. a) Để chứng minh rằng tam giác ABD = Tam giác AMD, ta sẽ sử dụng định lí phân giác góc. Vì AD là phân giác của góc BAC, nên ta có: $$ Vì AM = AB, nên ta cũng có: $$ Do đó, theo nguyên lý cạnh - góc - cạnh (SAS), ta có: Tam giác ABD = Tam giác AMD. b) Để chứng minh rằng tam giác BDM cân tại D, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng. Vì tam giác ABD = Tam giác AMD (đã chứng minh ở câu a), nên ta có: $$ Nhưng vì tam giác ABD = Tam giác AMD, nên ta có: $$ Do đó, ta có: $$ Vậy tam giác BDM cân tại D. c) Để chứng minh rằng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BM, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác cân. Vì tam giác BDM cân tại D (đã chứng minh ở câu b), nên ta có: $$ Nhưng vì tam giác ABD = Tam giác AMD (đã chứng minh ở câu a), nên ta cũng có: $$ Do đó, ta có: $$ $$ Vậy AD là đường trung trực của đoạn thẳng BM. 2. Giải bài toán từng câu một: a) Chứng minh: Tam giác ABD = Tam giác AMD. - Sử dụng định lí phân giác góc, ta có: $$ - Vì AM = AB, nên ta cũng có: $$ - Áp dụng nguyên lý cạnh - góc - cạnh (SAS), ta có: Tam giác ABD = Tam giác AMD. b) Chứng minh: Tam giác BDM cân tại D. - Sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng, ta có: $$ - Vì tam giác ABD = Tam giác AMD, nên ta có: $$ - Do đó, ta có: $$ - Vậy tam giác BDM cân tại D. c) Chứng minh: AD là đường trung trực của đoạn thẳng BM. - Vì tam giác BDM cân tại D, nên ta có: $$ - Vì tam giác ABD = Tam giác AMD, nên ta cũng có: $$ - Do đó, ta có: $$ - Từ đó suy ra: $$ - Vậy AD là đường trung trực của đoạn thẳng BM.