cho tam giác ABC vuông tại A có AI là tia phân giác của BAC ( I thuộc BC) . kẻ IM vuông góc AB, IN vuông góc với AC. gọi E và F lần lượt là trung điểm của IB, IC
a) chứng minh tứ giác AMIN là hình vuông
b) Gọi O là giao điểm của AI và MN. Chứng minh góc EOF= 90 độ
c) chứng minh AC.IE=AB.IF

vẽ cả hình nữa ạ

Question

cho tam giác ABC vuông tại A có AI là tia phân giác của BAC ( I thuộc BC) . kẻ IM vuông góc AB, IN vuông góc với AC. gọi E và F lần lượt là trung điểm của IB, IC
a) chứng minh tứ giác AMIN là hình vuông
b) Gọi O là giao điểm của AI và MN. Chứng minh góc EOF= 90 độ
c) chứng minh AC.IE=AB.IF

vẽ cả hình nữa ạ

ngoan34 · Accepted Answer

a, Xét tứ giác AMIN có: $\displaystyle \widehat{MAN} =\widehat{AMI} =\widehat{ANI} =90^{0}$
Do đó tứ giác AMIN là hình chữ nhật
Mà AI là phân giác của $\displaystyle \widehat{MAN}$
Do đó tứ giác AMIN là hình vuông
b, Vì tứ giác AMIN là hình vuông nên AI và MN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
$\displaystyle \Rightarrow $O là trung điểm của AI, O là trung điểm của MN
Xét $\displaystyle \vartriangle ABI\ $có: E là trung điểm của IB, O là trung điểm của AI
$\displaystyle \Rightarrow OE$ là đường trung bình của $\displaystyle \vartriangle ABI$
$\displaystyle \Rightarrow OE\parallel AB$
Mà $\displaystyle AB\bot AC$
Do đó $\displaystyle OE\bot AC$ (1)
Xét $\displaystyle \vartriangle AIC$ có: O là trung điểm của AI, F là trung điểm của IC
$\displaystyle \Rightarrow OF$ là đường trung bình của $\displaystyle \vartriangle AIC$
$\displaystyle \Rightarrow OF\parallel AC$ (2)
Từ (1) và (2) ta có: $\displaystyle OE\bot OF\Rightarrow \widehat{EOF} =90^{0}$

Timi · Answer

Đây là một bài toán hình học trong tam giác vuông. Chúng ta sẽ chứng minh các phần a), b), và c) theo thứ tự.

a) Để chứng minh tứ giác AMIN là hình vuông, ta cần chứng minh rằng các cạnh của tứ giác này bằng nhau và các góc đối diện với các cạnh bằng nhau.

Ta có tam giác ABC vuông tại A và AI là tia phân giác của góc BAC. Vì vậy, ta có:

$\angle BAI = \angle IAC$ (1)

Vì $IM$ vuông góc với $AB$ và $IN$ vuông góc với $AC$, nên ta có:

$\angle AIM = \angle INM$ (2)
$\angle ANI = \angle IMN$ (3)

Từ (1), (2), và (3), ta có:

$\angle AIM = \angle INM = \angle ANI$ (4)

Do đó, ta có $AM = AN$ và $\angle AIM = \angle ANI$. Vậy tứ giác AMIN là hình vuông.

b) Để chứng minh góc EOF = 90 độ, ta cần chứng minh rằng tứ giác EOIF là hình chữ nhật.

Vì E và F lần lượt là trung điểm của IB và IC, nên ta có:

$IE = IF$ (5)

Vì $IM$ vuông góc với $AB$ và $IN$ vuông góc với $AC$, nên ta có:

$\angle AIM = \angle INM = 90^\circ$ (6)
$\angle ANI = \angle IMN = 90^\circ$ (7)

Từ (6) và (7), ta có:

$\angle AIM = \angle INM = \angle ANI = 90^\circ$ (8)

Do đó, tứ giác EOIF là hình chữ nhật và góc EOF = 90 độ.

c) Để chứng minh AC.IE = AB.IF, ta sử dụng định lí phân giác trong tam giác.

Vì AI là tia phân giác của góc BAC, ta có:

$\frac{AB}{BI} = \frac{AC}{CI}$ (9)

Vì E và F lần lượt là trung điểm của IB và IC, ta có:

$IE = \frac{1}{2}BI$ (10)
$IF = \frac{1}{2}CI$ (11)

Thay (10) và (11) vào (9), ta có:

$\frac{AB}{\frac{1}{2}BI} = \frac{AC}{\frac{1}{2}CI}$

$2AB = 2AC$

$AB = AC$

Do đó, ta có AC.IE = AB.IF.

Vậy, chúng ta đã chứng minh xong các phần a), b), và c) của bài toán.

Upgrade Titan Cinemaman · Answer

{"userId":5154397,"userName":"kidz_1011ok"}

a) Ta có AI là tia phân giác của góc BAC, do đó AB = AC. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AB = AC = AI.
Khi đó, ta có:

Tam giác ABI và tam giác ACI là tam giác đồng dạng (cạnh chung AB, AC và góc A).
EF là đường trung bình của tam giác ABC nên EF song song với BC và EF = 1/2 BC.
E là trung điểm của IB nên IE = 1/2 IB.
F là trung điểm của IC nên IF = 1/2 IC.

Từ đó, ta có:
IE = 1/2 IB = 1/4 AB = 1/4 AI
IF = 1/2 IC = 1/4 AC = 1/4 AI
Vậy, tứ giác AMIN là hình vuông vì cạnh AM bằng cạnh AI và cạnh MN bằng cạnh IN.
b) Ta có:

Tứ giác AMIN là hình vuông (chứng minh ở câu a).
O là giao điểm của AI và MN.
EF song song với BC.

Do đó, ta có:

Góc EOI = Góc EOF (do EF song song với BC và ON là đường cao của tam giác EOI).
Góc EOI = Góc MOI (do O là giao điểm của AI và MN).
Góc MOI = 90 độ (vì tứ giác AMIN là hình vuông).

Vậy, góc EOF = 90 độ.

cho tam giác ABC vuông tại A có AI là tia phân giác của BAC ( I thuộc BC) . kẻ IM vuông góc AB, IN vuông góc với AC. gọi E và F lần lượt là trung điểm của IB, IC a) chứng minh tứ giác AMIN là hình vuôn...