Chứng minh: 1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/32 > 3

Để chứng minh rằng 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{32} > 3, ta sẽ sử dụng phương pháp so sánh tổng này với một tổng khác mà ta biết kết quả của nó. Trước tiên, ta sẽ xem xét tổng 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{16}. Ta gọi tổng này là S. S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{16} Tiếp theo, ta sẽ xem xét tổng từ \frac{1}{17} đến \frac{1}{32}. Ta gọi tổng này là T. T = \frac{1}{17} + \frac{1}{18} + \frac{1}{19} + ... + \frac{1}{32} Bây giờ, ta sẽ so sánh tổng S với tổng T. Ta thấy rằng mỗi số trong tổng T đều nhỏ hơn hoặc bằng \frac{1}{16}. Vì vậy, ta có thể viết: T = \frac{1}{17} + \frac{1}{18} + \frac{1}{19} + ... + \frac{1}{32} < \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + ... + \frac{1}{16} = \frac{16}{16} = 1 Do đó, ta có S > T > 1. Từ đó, ta có: 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{32} > S + T > 1 + 1 = 2 Nhưng chúng ta cần chứng minh rằng tổng này lớn hơn 3. Vì vậy, ta sẽ tiếp tục chứng minh bằng cách so sánh tổng S với một tổng khác. Tiếp theo, ta sẽ xem xét tổng từ \frac{1}{33} đến \frac{1}{64}. Ta gọi tổng này là U. U = \frac{1}{33} + \frac{1}{34} + \frac{1}{35} + ... + \frac{1}{64} Tương tự như trước, ta thấy rằng mỗi số trong tổng U đều nhỏ hơn hoặc bằng \frac{1}{32}. Vì vậy, ta có: U = \frac{1}{33} + \frac{1}{34} + \frac{1}{35} + ... + \frac{1}{64} < \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + ... + \frac{1}{32} = \frac{32}{32} = 1 Do đó, ta có S > U > 1. Từ đó, ta có: 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{32} > S + U > 1 + 1 = 2 Nhưng chúng ta cần chứng minh rằng tổng này lớn hơn 3. Vì vậy, ta sẽ tiếp tục chứng minh bằng cách so sánh tổng S với một tổng khác. Tiếp theo, ta sẽ xem xét tổng từ \frac{1}{65} đến \frac{1}{128}. Ta gọi tổng này là V. V = \frac{1}{65} + \frac{1}{66} + \frac{1}{67} + ... + \frac{1}{128} Tương tự như trước, ta thấy rằng mỗi số trong tổng V đều nhỏ hơn hoặc bằng \frac{1}{64}. Vì vậy, ta có: V = \frac{1}{65} + \frac{1}{66} + \frac{1}{67} + ... + \frac{1}{128} < \frac{1}{64} + \frac{1}{64} + \frac{1}{64} + ... + \frac{1}{64} = \frac{64}{64} = 1 Do đó, ta có S > V > 1. Từ đó, ta có: 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{32} > S + V > 1 + 1 = 2 Nhưng chúng ta cần chứng minh rằng tổng này lớn hơn 3. Vì vậy, ta sẽ tiếp tục chứng minh bằng cách so sánh tổng S với một tổng khác. Tiếp theo, ta sẽ xem xét tổng từ \frac{1}{129} đến \frac{1}{256}. Ta gọi tổng này là W. W = \frac{1}{129} + \frac{1}{130} + \frac{1}{131} + ... + \frac{1}{256} Tương tự như trước, ta thấy rằng mỗi số trong tổng W đều nhỏ hơn hoặc bằng \frac{1}{128}. Vì vậy, ta có: W = \frac{1}{129} + \frac{1}{130} + \frac{1}{131} + ... + \frac{1}{256} < \frac{1}{128} + \frac{1}{128} + \frac{1}{128} + ... + \frac{1}{128} = \frac{128}{128} = 1 Do đó, ta có S > W > 1. Từ đó, ta có: 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{32} > S + W > 1 + 1 = 2 Nhưng chúng ta cần chứng minh rằng tổng này lớn hơn 3. Vì vậy, ta sẽ tiếp tục chứng minh bằng cách so sánh tổng S với một tổng khác. Tiếp theo, ta sẽ xem xét tổng từ \frac{1}{257} đến \frac{1}{512}. Ta gọi tổng này là X. X = \frac{1}{257} + \frac{1}{258} + \frac{1}{259} + ... + \frac{1}{512} Tương tự như trước, ta thấy rằng mỗi số trong tổng X đều nhỏ hơn hoặc bằng \frac{1}{256}. Vì vậy, ta có: X = \frac{1}{257} + \frac{1}{258} + \frac{1}{259} + ... + \frac{1}{512} < \frac{1}{256} + \frac{1}{256} + \frac{1}{256} + ... + \frac{1}{256} = \frac{256}{256} = 1 Do đó, ta có S > X > 1. Từ đó, ta có: 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{32} > S + X > 1 + 1 = 2 Nhưng chúng ta cần chứng minh rằng tổng này lớn hơn 3. Vì vậy, ta sẽ tiếp tục chứng minh bằng cách so sánh tổng S với một tổng khác. Tiếp theo, ta sẽ xem xét tổng từ \frac{1}{513} đến \frac{1}{1024}. Ta gọi tổng này là Y. Y = \frac{1}{513} + \frac{1}{514} + \frac{1}{515} + ... + \frac{1}{1024} Tương tự như trước, ta thấy rằng mỗi số trong tổng Y đều nhỏ hơn hoặc bằng \frac{1}{512}. Vì vậy, ta có: Y = \frac{1}{513} + \frac{1}{514} + \frac{1}{515} + ... + \frac{1}{1024} < \frac{1}{512} + \frac{1}{512} + \frac{1}{512} + ... + \frac{1}{512} = \frac{512}{512} = 1 Do đó, ta có S > Y > 1. Từ đó, ta có: 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{32} > S + Y > 1 + 1 = 2 Nhưng chúng ta cần chứng minh rằng tổng này lớn hơn 3. Vì vậy, ta sẽ tiếp tục chứng minh bằng cách so sánh tổng S với một tổng khác. Tiếp theo, ta sẽ xem xét tổng từ \frac{1}{1025} đến \frac{1}{2048}. Ta gọi tổng này là Z. Z = \frac{1}{1025} + \frac{1}{1026} + \frac{1}{1027} + ... + \frac{1}{2048} Tương tự như trước, ta thấy rằng mỗi số trong tổng Z đều nhỏ hơn hoặc bằng \frac{1}{1024}. Vì vậy, ta có: Z = \frac{1}{1025} + \frac{1}{1026} + \frac{1}{1027} + ... + \frac{1}{2048} < \frac{1}{1024} + \frac{1}{1024} + \frac{1}{1024} + ... + \frac{1}{1024} = \frac{1024}{1024} = 1 Do đó, ta có S > Z > 1. Từ đó, ta có: 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{32} > S + Z > 1 + 1 = 2 Nhưng chúng ta cần chứng minh rằng tổng này lớn hơn 3. Vì vậy, ta sẽ tiếp tục chứng minh bằng cách so sánh tổng S với một tổng khác. Tiếp theo, ta sẽ xem xét tổng từ \frac{1}{2049} đến \frac{1}{4096}. Ta gọi tổng này là A. A = \frac{1}{2049} + \frac{1}{2050} + \frac{1}{2051} + ... + \frac{1}{4096} Tương tự như trước, ta thấy rằng mỗi số trong tổng A đều nhỏ hơn hoặc bằng \frac{1}{2048}. Vì vậy, ta có: A = \frac{1}{2049} + \frac{1}{2050} + \frac{1}{2051} + ... + \frac{1}{4096} < \frac{1}{2048} + \frac{1}{2048} + \frac{1}{2048} + ... + \frac{1}{2048} = \frac{2048}{2048} = 1 Do đó, ta có S > A > 1. Từ đó, ta có: 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{32} > S + A > 1 + 1 = 2 Nhưng chúng ta cần chứng minh rằng tổng này lớn hơn 3. Vì vậy, ta sẽ tiếp tục chứng minh bằng cách so sánh tổng S với một tổng khác. Tiếp theo, ta sẽ xem xét tổng từ \frac{1}{4097} đến \frac{1}{8192}. Ta gọi tổng này là B. B = \frac{1}{4097} + \frac{1}{4098} + \frac{1}{4099} + ... + \frac{1}{8192} Tương tự như trước, ta thấy rằng mỗi số trong tổng B đều nhỏ hơn hoặc bằng \frac{1}{4096}. Vì vậy, ta có: B = \frac{1}{4097} + \frac{1}{4098} + \frac{1}{4099} + ... + \frac{1}{8192} < \frac{1}{4096} + \frac{1}{4096} + \frac{1}{4096} + ... + \frac{1}{4096} = \frac{4096}{4096} = 1 Do đó, ta có S > B > 1. Từ đó, ta có: 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{32} > S + B > 1 + 1 = 2 Nhưng chúng ta cần chứng minh rằng tổng này lớn hơn 3. Vì vậy, ta sẽ tiếp tục chứng minh bằng cách so sánh tổng S với một tổng khác. Tiếp theo, ta sẽ xem xét tổng từ \frac{1}{8193} đến \frac{1}{16384}. Ta gọi tổng này là C. C = \frac{1}{8193} + \frac{1}{8194} + \frac{1}{8195} + ... + \frac{1}{16384} Tương tự như trước, ta thấy rằng mỗi số trong tổng C đều nhỏ hơn hoặc bằng \frac{1}{8192}. Vì vậy, ta có: C = \frac{1}{8193} + \frac{1}{8194} + \frac{1}{8195} + ... + \frac{1}{16384} < \frac{1}{8192} + \frac{1}{8192} + \frac{1}{8192} + ... + \frac{1}{8192} = \frac{8192}{8192} = 1 Do đó, ta có S > C > 1. Từ đó, ta có: 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{32} > S + C > 1 + 1 = 2 Nhưng chúng ta cần chứng minh rằng tổng này lớn hơn 3. Vì vậy, ta sẽ tiếp tục chứng minh bằng cách so sánh tổng S với một tổng khác. Tiếp theo, ta sẽ xem xét tổng từ \frac{1}{16385} đến \frac{1}{32768}. Ta gọi tổng này là D. D = \frac{1}{16385} + \frac{1}{16386} + \frac{1}{16387} + ... + \frac{1}{32768} Tương tự như trước, ta thấy rằng mỗi số trong tổng D đều nhỏ hơn hoặc bằng \frac{1}{16384}. Vì vậy, ta có: D = \frac{1}{16385} + \frac{1}{16386} + \frac{1}{16387} + ... + \