Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC (B, C là 2 tiếp điểm) và cát tuyến ADE sao cho AD

Question

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC (B, C là 2 tiếp điểm) và cát tuyến ADE sao cho AD < AE.
a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm M của đường tròn này.
b) Trong (O) kẻ dây BF // DE, FC cắt AE tại I. Chứng minh: tứ giác ABIC nội tiếp và I là trung điểm DE.
c) Gọi G là giao điểm của BC và ED. Chứng minh:

nonever · Accepted Answer

a, Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên $\displaystyle \widehat{ABO} =\widehat{ACO} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow B,C$ thuộc đường tròn đường kính OA
$\displaystyle \Longrightarrow $ $\displaystyle A,B,C,O$ cùng thuộc đường trong tâm M là trung điểm của OA
b, Xét (O) có: $\displaystyle \widehat{ABC} =\widehat{BFC}$ (góc nội tiếp và góc tạo bơt tia tiếp tuyến và dây cùng chắn 1 cung)
Ta có: $\displaystyle BF\parallel DE\Longrightarrow \widehat{FIE} =\widehat{BFC}$
Lại có: $\displaystyle \widehat{FIE} =\widehat{AIC}$
Do đó: $\displaystyle \widehat{ABC} =\widehat{AIC}$
Xét tứ giác ABIC có: $\displaystyle \widehat{ABC} =\widehat{AIC}$
Do đó tứ giác ABIC nội tiếp đường tròn
Lại có ABOC nội tiếp đường tròn
Do đó A,B,C,O,I cùng thuộc 1 đường tròn
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow \widehat{AIO} =\widehat{ACO} =90^{0}\
\Longrightarrow OI\bot DE
\end{array}$
Xét (O) có: $\displaystyle OI\bot DE$
$\displaystyle \Longrightarrow I$ là trung điểm của DE

Timi · Answer

1. Đây là một bài toán hình học về đường tròn và các tiếp tuyến. Chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về góc nội tiếp, góc ngoại tiếp và các tính chất của các đường tròn để giải quyết bài toán này.

a) Để chứng minh rằng 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm M của đường tròn này, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc nội tiếp và góc ngoại tiếp.

- Ta biết rằng AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), do đó góc BAC là góc ngoại tiếp của tam giác ABC.
- Góc ngoại tiếp BAC có cùng đỉnh với góc nội tiếp BOC, do đó góc BAC = góc BOC.
- Tương tự, góc ngoại tiếp BCA cũng có cùng đỉnh với góc nội tiếp BOC, do đó góc BCA = góc BOC.
- Vì góc BAC = góc BCA, ta có góc BOC = góc BAC + góc BCA = 2góc BAC.
- Do đó, góc BOC là góc nội tiếp của đường tròn (O), và ta có thể kết luận rằng 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

Để xác định tâm M của đường tròn này, ta sẽ sử dụng tính chất của các tiếp tuyến và các góc nội tiếp.

- Gọi I là giao điểm của AB và AC.
- Ta biết rằng góc BIC là góc nội tiếp của đường tròn (O), do đó góc BIC = góc BOC/2.
- Vì góc BOC = 2góc BAC, ta có góc BIC = góc BOC/2 = góc BAC.
- Như vậy, góc BIC = góc BAC, tức là tứ giác ABIC nội tiếp.
- Để xác định tâm M của đường tròn, ta lấy trung điểm của đoạn thẳng BC, gọi là M. Vì B, C, O cùng thuộc một đường tròn, nên M cũng là tâm của đường tròn này.

b) Để chứng minh tứ giác ABIC nội tiếp và I là trung điểm DE, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc nội tiếp và góc ngoại tiếp.

- Ta biết rằng BF // DE, do đó góc BFE = góc BED (do cùng là góc nội tiếp của đường tròn).
- Vì BF // DE, ta có góc BFE = góc BAC (do cùng là góc ngoại tiếp của tam giác ABC).
- Từ đó, ta có góc BED = góc BAC.
- Như vậy, tứ giác ABIC nội tiếp.

- Để chứng minh I là trung điểm DE, ta sẽ sử dụng tính chất của các tiếp tuyến và các góc nội tiếp.

- Gọi F&#x27; là giao điểm của FC và AB.
- Ta biết rằng góc BFF&#x27; là góc nội tiếp của đường tròn (O), do đó góc BFF&#x27; = góc BOC/2.
- Vì góc BOC = 2góc BAC, ta có góc BFF&#x27; = góc BOC/2 = góc BAC.
- Như vậy, góc BFF&#x27; = góc BAC, tức là tứ giác ABIF&#x27; nội tiếp.
- Do BF // DE, ta có tứ giác ABIF&#x27; là tứ giác điều hòa, do đó I là trung điểm của DE.

c) Để chứng minh G là giao điểm của BC và ED, ta sẽ sử dụng tính chất của các tiếp tuyến và các góc nội tiếp.

- Gọi G&#x27; là giao điểm của BC và AE.
- Ta biết rằng góc BAG&#x27; là góc nội tiếp của đường tròn (O), do đó góc BAG&#x27; = góc BOC/2.
- Vì góc BOC = 2góc BAC, ta có góc BAG&#x27; = góc BOC/2 = góc BAC.
- Như vậy, góc BAG&#x27; = góc BAC, tức là tứ giác ABG&#x27; nội tiếp.
- Do BF // DE, ta có tứ giác ABG&#x27; là tứ giác điều hòa, do đó G&#x27; là trung điểm của DE.
- Từ đó, ta có G&#x27; = I.
- Vì G&#x27; là giao điểm của BC và AE, nên G = G&#x27;.
- Như vậy, G là giao điểm của BC và ED.

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC (B, C là 2 tiếp điểm) và cát tuyến ADE sao cho AD < AE. a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm M của đường t...