Bài 1:
a)
Phương pháp giải:
- Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình bậc hai này.
Bước 1: Tìm hai số có tổng là 5 và tích là -6.
- Các cặp số có tích là -6: (-1, 6), (1, -6), (-2, 3), (2, -3).
- Cặp số có tổng là 5: (6, -1).
Bước 2: Viết lại phương trình dưới dạng tích.
Bước 3: Giải phương trình tích.
Vậy nghiệm của phương trình là hoặc .
b)
Phương pháp giải:
- Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai :
Bước 1: Xác định các hệ số , , và .
Bước 2: Tính .
Bước 3: Tính các nghiệm của phương trình.
Vậy nghiệm của phương trình là hoặc .
c)
Phương pháp giải:
- Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình bậc hai này.
Bước 1: Tìm hai số có tổng là 7 và tích là 10.
- Các cặp số có tích là 10: (1, 10), (-1, -10), (2, 5), (-2, -5).
- Cặp số có tổng là 7: (2, 5).
Bước 2: Viết lại phương trình dưới dạng tích.
Bước 3: Giải phương trình tích.
Vậy nghiệm của phương trình là hoặc .
d)
Phương pháp giải:
- Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình bậc hai này.
Bước 1: Tìm hai số có tổng là 7 và tích là -30.
- Các cặp số có tích là -30: (-1, 30), (1, -30), (-2, 15), (2, -15), (-3, 10), (3, -10), (-5, 6), (5, -6).
- Cặp số có tổng là 7: (10, -3).
Bước 2: Viết lại phương trình dưới dạng tích.
Bước 3: Giải phương trình tích.
Vậy nghiệm của phương trình là hoặc .
e)
Phương pháp giải:
- Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình bậc hai này.
Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng tích.
Bước 2: Giải phương trình tích.
Vậy nghiệm của phương trình là hoặc .
f)
Phương pháp giải:
- Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình bậc hai này.
Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng tích.
Bước 2: Giải phương trình tích.
Vậy nghiệm của phương trình là hoặc .
Bài 2:
Để vẽ đồ thị của các hàm số đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm các điểm trên đồ thị:
- Chọn các giá trị của và tính giá trị tương ứng của dựa vào công thức của hàm số.
- Lập bảng giá trị cho từng hàm số.
2. Vẽ các điểm trên hệ trục tọa độ:
- Dùng các giá trị và đã tính để đánh dấu các điểm trên hệ trục tọa độ.
3. Liên kết các điểm:
- Vẽ đường cong đi qua các điểm đã đánh dấu.
a)
- Bảng giá trị:
- Đồ thị: Đồ thị của là một parabol mở lên, đỉnh ở gốc tọa độ (0,0).
b)
- Bảng giá trị:
- Đồ thị: Đồ thị của cũng là một parabol mở lên, nhưng nó hẹp hơn và cao hơn so với .
c)
- Bảng giá trị:
- Đồ thị: Đồ thị của là một parabol mở xuống, đỉnh ở gốc tọa độ (0,0).
d)
- Bảng giá trị:
- Đồ thị: Đồ thị của là một parabol mở xuống, đỉnh ở gốc tọa độ (0,0), hẹp hơn và thấp hơn so với .
e)
- Bảng giá trị:
- Đồ thị: Đồ thị của là một parabol mở lên, đỉnh ở gốc tọa độ (0,0), rộng hơn và thấp hơn so với .
Kết luận
- Đồ thị của là một parabol mở lên, đỉnh ở gốc tọa độ (0,0).
- Đồ thị của là một parabol mở lên, hẹp hơn và cao hơn so với .
- Đồ thị của là một parabol mở xuống, đỉnh ở gốc tọa độ (0,0).
- Đồ thị của là một parabol mở xuống, đỉnh ở gốc tọa độ (0,0), hẹp hơn và thấp hơn so với .
- Đồ thị của là một parabol mở lên, đỉnh ở gốc tọa độ (0,0), rộng hơn và thấp hơn so với .
Bài 3:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm tổng và tích của các nghiệm của phương trình ban đầu.
2. Tính các biểu thức liên quan đến các nghiệm mới.
3. Lập phương trình bậc hai mới dựa trên các biểu thức đã tính.
Bước 1: Tìm tổng và tích của các nghiệm của phương trình ban đầu.
Phương trình có hai nghiệm là và . Theo định lý Viète, ta có:
Bước 2: Tính các biểu thức liên quan đến các nghiệm mới.
Các nghiệm mới là và .
Tính :
Tính :
Bước 3: Lập phương trình bậc hai mới dựa trên các biểu thức đã tính.
Phương trình bậc hai mới có hai nghiệm là 3 và 7. Ta sử dụng định lý Viète để lập phương trình:
Vậy phương trình bậc hai mới là:
Đáp số: Phương trình bậc hai mới là .
Bài 4:
Để giải quyết các biểu thức trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của phương trình bậc hai và mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình.
Phương trình đã cho là:
Theo định lý Viète, ta có:
Bây giờ, ta sẽ tính từng biểu thức theo yêu cầu:
a)
Ta có:
b)
Ta có:
c)
Ta có:
Biến đổi :
Do đó:
d)
Ta có:
Biến đổi :
Do đó:
e)
Ta có:
Biến đổi :
Do đó:
Tóm lại, các giá trị của các biểu thức là:
Bài 5.
a) Ta có: và
Nhận thấy đây là dạng phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng phương pháp giải phương trình bậc hai để tìm x và y.
Phương trình bậc hai có dạng:
Thay vào ta có:
Giải phương trình này bằng công thức nghiệm:
Do đó, ta có hai nghiệm:
Vậy hai số cần tìm là 11 và 7.
b) Ta có: và
Phương trình bậc hai có dạng:
Thay vào ta có:
Giải phương trình này bằng công thức nghiệm:
Vì là số phức, nên phương trình này không có nghiệm thực. Vậy không có hai số thực x và y thỏa mãn điều kiện trên.
c) Ta có: và
Phương trình bậc hai có dạng:
Ta cần tìm x và y sao cho và .
Nhận thấy đây là dạng phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng phương pháp giải phương trình bậc hai để tìm x và y.
Phương trình bậc hai có dạng:
Thay vào ta có:
Giải phương trình này bằng công thức nghiệm:
Do đó, ta có hai nghiệm:
Vậy hai số cần tìm là và .
d) Ta có: và
Phương trình bậc hai có dạng:
Ta cần tìm x và y sao cho và .
Nhận thấy đây là dạng phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng phương pháp giải phương trình bậc hai để tìm x và y.
Phương trình bậc hai có dạng:
Thay vào ta có:
Giải phương trình này bằng công thức nghiệm:
Do đó, ta có hai nghiệm:
Vậy hai số cần tìm là và .