tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x^2+2y^2+3z^2-2xy+2xz-2x-2y-8z+2000

Bài toán này là bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đa thức. Để giải quyết bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông và phân tích đạo hàm. Bước 1: Hoàn thành khối vuông Để áp dụng phương pháp hoàn thành khối vuông, ta cần chuyển biểu thức về dạng chuẩn hoàn chỉnh. Để làm điều này, ta cần nhóm các thành phần có cùng hệ số của các biến tương ứng lại với nhau. Biểu thức B = x^2+2y^2+3z^2-2xy+2xz-2x-2y-8z+2000 Nhóm các thành phần có cùng hệ số của biến x: B = (x^2 - 2xy + 2xz - 2x) + (2y^2 - 2y) + (3z^2 - 8z) + 2000 Nhóm các thành phần có cùng hệ số của biến y: B = (x^2 - 2xy) + (2y^2 - 2y) + (2xz - 2x) + (3z^2 - 8z) + 2000 Nhóm các thành phần có cùng hệ số của biến z: B = (x^2 - 2xy) + (2y^2 - 2y) + (2xz - 2x + 3z^2 - 8z) + 2000 Bước 2: Phân tích đạo hàm Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B, ta cần tìm điểm cực tiểu bằng cách phân tích đạo hàm của biểu thức này. Đạo hàm riêng theo x: ∂B/∂x = 2x - 2y + 2z - 2 Đạo hàm riêng theo y: ∂B/∂y = -2x + 4y - 2 Đạo hàm riêng theo z: ∂B/∂z = 2x + 6z - 8 Bước 3: Giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0 Để tìm điểm cực tiểu, ta giải hệ phương trình sau: ∂B/∂x = 0 ∂B/∂y = 0 ∂B/∂z = 0 Từ ∂B/∂x = 0, ta có: 2x - 2y + 2z - 2 = 0 x - y + z - 1 = 0 Từ ∂B/∂y = 0, ta có: -2x + 4y - 2 = 0 2y = 2x + 2 y = x + 1 Từ ∂B/∂z = 0, ta có: 2x + 6z - 8 = 0 x + 3z = 4 Bước 4: Giải hệ phương trình tìm giá trị của biến Giải hệ phương trình: x - y + z - 1 = 0 y = x + 1 x + 3z = 4 Thay y = x + 1 vào x - y + z - 1 = 0, ta có: x - (x + 1) + z - 1 = 0 -1 + z = 0 z = 1 Thay z = 1 vào x + 3z = 4, ta có: x + 3(1) = 4 x + 3 = 4 x = 1 Bước 5: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức B Thay x = 1, y = x + 1 = 2, z = 1 vào biểu thức B: B = 1^2 + 2^2 + 3^2 - 2(1)(2) + 2(1)(1) - 2(1) - 2(2) - 8(1) + 2000 B = 1 + 4 + 9 - 4 + 2 - 2 - 4 - 8 + 2000 B = 1998 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 1998.