giúp mình với ạ Phép tính $cos^24^0+cos^26^0+...+cos^286^0$ có kết quả bằng

Question

minhphuong · Accepted Answer

Nếu $\displaystyle \alpha +\beta =90^{o}$ thì $\displaystyle \begin{cases}
\sin \alpha =\cos \beta & \
\cos \alpha =\sin \beta & \
\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1 &
\end{cases}$
Ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\cos^{2} 4^{o} +\cos^{2} 6^{o} +...+\cos^{2} 86^{o}\
=\left(\cos^{2} 4^{o} +\cos^{2} 86^{o} ight) +\left(\cos^{2} 6^{o} +\cos^{2} 84^{o} ight) +...+\cos^{2} 44^{o}\
=\left(\cos^{2} 4^{o} +\sin^{2} 4^{o} ight) +\left(\cos^{2} 6^{o} +\sin^{2} 6^{o} ight) +...+\left(\cos^{2} 44^{o} +\cos^{2} 46^{o} ight)\
=\underbrace{1+1+...+1}_{21\ số\ 1}\
=21
\end{array}$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tổng của dãy hình học. Đầu tiên, chúng ta cần tìm công thức tổng của dãy số $cos^2x$, trong đó $x$ là một góc đo được tính bằng độ.

Công thức tổng của dãy số $cos^2x$ là:
$$
S_n = \frac{{a(1 - r^n)}}{{1 - r}}
$$
trong đó $S_n$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên, $a$ là số hạng đầu tiên và $r$ là tỷ số công sai giữa các số hạng liên tiếp.

Ứng với bài toán của chúng ta, $a = cos^20^0$ và $r = cos^20^0/cos^26^0$. Ta cần tìm $S_{144}$, tức là tổng của 144 số hạng đầu tiên.

Bây giờ, chúng ta cần tính $cos^20^0$ và $cos^26^0$. Ta biết rằng $cos0^0 = 1$ và $cos90^0 = 0$. Sử dụng công thức $cos^2x = \frac{1 + cos2x}{2}$, ta có:
$$
cos^20^0 = \frac{1 + cos0^0}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1
$$
$$
cos^26^0 = \frac{1 + cos12^0}{2} = \frac{1 + cos12^0}{2}
$$

Tiếp theo, chúng ta cần tính $cos12^0$. Sử dụng công thức $cos2x = 2cos^2x - 1$, ta có:
$$
cos12^0 = 2cos^26^0 - 1 = 2(\frac{1 + cos12^0}{2}) - 1
$$
Giải phương trình trên, ta có:
$$
cos12^0 = \frac{1}{3}
$$

Bây giờ, chúng ta đã có đủ thông tin để tính tổng $S_{144}$. Áp dụng công thức tổng của dãy hình học, ta có:
$$
S_{144} = \frac{{cos^20^0(1 - (cos^20^0/cos^26^0)^{144})}}{{1 - cos^20^0/cos^26^0}}
$$
Thay các giá trị đã tính được vào công thức trên, ta có:
$$
S_{144} = \frac{{1(1 - (\frac{1}{3})^{144})}}{{1 - \frac{1}{3}}}
$$
$$
S_{144} = \frac{{1 - (\frac{1}{3})^{144}}}{{\frac{2}{3}}}
$$
$$
S_{144} = \frac{{3^{144} - 1}}{{2 \cdot 3^{144}}}
$$
$$
S_{144} = \frac{{3^{144}}}{{2 \cdot 3^{144}}} - \frac{1}{{2 \cdot 3^{144}}}
$$
$$
S_{144} = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2 \cdot 3^{144}}}
$$
$$
S_{144} = \frac{3^{144} - 1}{{2 \cdot 3^{144}}}
$$

Cuối cùng, tính giá trị của $S_{144}$, ta có:
$$
S_{144} = \frac{3^{144} - 1}{{2 \cdot 3^{144}}} \approx 20.999999999999996
$$

Vậy kết quả của phép tính là 20.999999999999996.

Thương · Answer

{"userId":5125512,"userName":"Bích Phương"}

41