Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành ABCD , tâm O . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của cạnh , SA SB. a) Chứng minh: MN//(SCD) b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( OMN) và (SAD) c) Tìm gia...

1. Đây là một bài toán hình học trong không gian. Chúng ta cần chứng minh một số quan hệ giữa các đường thẳng và mặt phẳng trong hình chóp ABCD. a) Để chứng minh MN//(SCD), ta cần chứng minh rằng hai đường thẳng MN và SCD có cùng một vector chỉ phương. b) Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (SAD), ta cần tìm vector pháp tuyến của mỗi mặt phẳng và sau đó tìm vector chỉ phương của đường thẳng giao nhau. c) Để tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (OMN), ta cần tìm phương trình của mặt phẳng (OMN) và sau đó tìm điểm giao của đường thẳng BC với mặt phẳng (OMN). 2. a) Ta biết rằng M là trung điểm của SA và N là trung điểm của SB. Vì vậy, ta có: \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB})\) Vì \(\overrightarrow{SA} = \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{CA}\) và \(\overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SD} + \overrightarrow{DB}\), ta có: \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}((\overrightarrow{SC} + \overrightarrow{CA}) + (\overrightarrow{SD} + \overrightarrow{DB}))\) \(= \frac{1}{2}(\overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{DB})\) Vì \(ABCD\) là hình bình hành, nên \(\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DB}\). Vì vậy, ta có: \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} + 2\overrightarrow{CA})\) \(= \frac{1}{2}(\overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CA})\) \(= \frac{1}{2}(\overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} + \overrightarrow{CB})\) Do đó, ta có \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} + \overrightarrow{CB})\). Vì vậy, ta có MN//(SCD). b) Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (SAD), ta cần tìm vector pháp tuyến của mỗi mặt phẳng và sau đó tìm vector chỉ phương của đường thẳng giao nhau. Đầu tiên, ta tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (OMN). Vì M và N là trung điểm của SA và SB, nên ta có: \(\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\). Vì vậy, ta có: \(\overrightarrow{OMN} = \overrightarrow{OM} \times \overrightarrow{ON}\) \(= \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\right) \times \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\right)\) \(= \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB})\) Tiếp theo, ta tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (SAD). Vì S là trung điểm của AD, nên ta có: \(\overrightarrow{OS} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\). Vì vậy, ta có: \(\overrightarrow{SAD} = \overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SD}\) \(= (\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{SA}) \times (\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{SD})\) \(= \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{SA}\right) \times \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{SD}\right)\) \(= \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{SA}\right) \times \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{SD}\right)\) \(= \left(\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{SA}\right) \times \left(\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{SD}\right)\) \(= (\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{SA}) \times (\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{SD})\) \(= \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{SD} + 2\overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SD}\) Vì \(ABCD\) là hình bình hành, nên \(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{0}\) và \(\overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{0}\). Vì vậy, ta có: \(\overrightarrow{SAD} = 2\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{SD} + 4\overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SD}\) \(= 2(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{SD}) + 4(\overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SD})\) Do đó, ta có \(\overrightarrow{SAD} = 2(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{SD}) + 4(\overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SD})\). Tiếp theo, ta tìm vector chỉ phương của đường thẳng giao nhau. Để làm điều này, ta lấy tích vector của hai vector pháp tuyến: \(\overrightarrow{OMN} \times \overrightarrow{SAD}\) \(= \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}) \times (2(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{SD}) + 4(\overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SD}))\) Tuy nhiên, để tiếp tục tính toán, cần biết thêm về các thông số cụ thể của hình chóp ABCD, chẳng hạn như các giá trị của các vector \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{SD}\), và \(\overrightarrow{SA}\).