Bài 4(3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) , đường cao AH. Từ H kẻ HM AB ⊥ và HN AC ⊥ (M AB N AC ∈ ∈ , ) a) Chứng minh tứ giácAMHN là hình chữ nhật và AH = MN b) Gọi O là giao điểm của...

Bài toán này thuộc loại bài toán hình học tam giác và tứ giác. a) Để chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật và AH = MN, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và đường cao. Bước 1: Vẽ đồ thị hình học của tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Bước 2: Kẻ HM ⊥ AB và HN ⊥ AC. Bước 3: Ta cần chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật và AH = MN. - Chứng minh AMHN là hình chữ nhật: + Vì AH ⊥ BC (do AH là đường cao), nên AH ⊥ MN (do MN song song với BC). + Vì AM ⊥ BC (do AM là đường cao), nên AM ⊥ HN (do HN song song với BC). + Vậy tứ giác AMHN có hai cặp cạnh đối vuông, do đó AMHN là hình chữ nhật. - Chứng minh AH = MN: + Ta có AH ⊥ MN (do AH ⊥ BC và MN song song với BC). + Vì AM ⊥ HN (do AM là đường cao), nên AM ⊥ MN (do MN song song với BC). + Vậy AH = MN (do hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường thẳng sẽ bằng nhau). Vậy tứ giác AMHN là hình chữ nhật và AH = MN. b) Để chứng minh MN // HP và O, I, J thẳng hàng, ta sẽ sử dụng tính chất của tứ giác và đường cao. Bước 1: Vẽ đồ thị hình học của tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, và các đường thẳng MN, HP. Bước 2: Gọi O là giao điểm của AH và MN. Trên CN lấy P sao cho NA = NP. HN cắt MP tại I. Gọi J là trung điểm của HC. Bước 3: Ta cần chứng minh MN // HP và O, I, J thẳng hàng. - Chứng minh MN // HP: + Ta có tứ giác AMHN là hình chữ nhật (đã chứng minh ở câu a). + Vì AH = MN (đã chứng minh ở câu a), nên tứ giác AMHN là hình chữ nhật cân. + Vì tứ giác AMHN là hình chữ nhật cân, nên MN // AH (do hai cạnh đối vuông song song với nhau). + Vì NA = NP (theo đề bài), nên tứ giác ANPH là hình chữ nhật cân. + Vậy MN // HP (do hai cạnh đối vuông song song với nhau). - Chứng minh O, I, J thẳng hàng: + Ta có tứ giác AMHN là hình chữ nhật (đã chứng minh ở câu a). + Vì AH = MN (đã chứng minh ở câu a), nên tứ giác AMHN là hình chữ nhật cân. + Vì J là trung điểm của HC, nên J là trung điểm của MN (do MN song song với BC và HN song song với BC). + Vậy O, I, J thẳng hàng (do O là giao điểm của AH và MN, I là giao điểm của HN và MP, J là trung điểm của MN). Vậy MN // HP và O, I, J thẳng hàng. c) Để tam giác MKE là tam giác vuông cân, ta cần thêm điều kiện nào đó.