Cho ABC vuông tại A (AB

Question

Cho ABC vuông tại A (AB < AC) và trung tuyến AM. Gọi H là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia HM lấy điểm N sao cho HN = HM. 1) Chứng minh AM = MB và tứ giác ANBM là hình thoi. 2) Qua N vẽ đường thẳng vuông góc với BN cắt tia BA tại D. Chứng minh DM vuông góc BC và BDC cân. 3) Gọi K là giao điểm của DM và AC, kéo dài MA cắt DN tại J. Vẽ HP song song với NJ (P thuộc MA). Gọi I là trung điểm của HP. Tia MI cắt đoạn thẳng NJ tại E. Chứng minh E là trung điểm của NJ và MI // JK.

DangThienY · Accepted Answer

a, ta có : HB=HA
HN=HM
vậy AB và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
⟹ ANBM là hình bình hành
mà AM = BM ( vì AM là trung tuyến tam giác vuông ABC )
vậy ANBM là hình thoi (hình bình hành có 2 cạnh bằng nhau)
b, ta có : xét tam giác : NDH và DHM có :
HN=HM
HD chung
$\displaystyle \widehat{NHD} =\widehat{DHM} =90\ độ$
⟹ tam giác NDH = DHM
⟹ $\displaystyle \widehat{HND} =\widehat{HMD}$
mà $\displaystyle \widehat{HND} +\widehat{HNB} =\widehat{HND\ } +\widehat{HMB} =90\ độ$
⟹ $\displaystyle \widehat{HMD} +\widehat{HMB} =90\ độ$
vậy DM vuông góc BC
+, vì DM vuông góc với BC
mà M là trung điểm của BC
vậy tam BDC cân tại D ( vì đường cao vuông góc tại trung điểm cạnh đáy)
c, ta có : HP = NJ
theo talet:
xét tam giác : MIP và MEJ có :
$\displaystyle \frac{IP}{EJ} =\frac{MI}{ME}$
xét tam giác : MHI và MNE có :
$\displaystyle \frac{HI\ }{NE\ } =\frac{MI\ }{ME}$
⟹ $\displaystyle \frac{IP\ }{EJ} =\frac{HI\ }{NE\ }$ mà HI = IP
⟹ EJ=NE
vậy E là trung điểm của NJ

Timi · Answer

1) Để chứng minh AM = MB và tứ giác ANBM là hình thoi, ta sẽ sử dụng tính chất của trung tuyến và đường cao trong tam giác vuông.

Vì M là trung điểm của AB, nên ta có AM = MB.

Ta biết rằng trong tam giác vuông ABC, đường cao từ đỉnh A xuống BC cắt BC tại H. Vì H là trung điểm của AB, nên ta có AH = HB.

Giả sử N không trùng với M. Khi đó, ta có HN = HM (theo định nghĩa của N). Nhưng ta cũng có AH = HB. Vậy ta có AN = NB.

Do đó, tứ giác ANBM có 2 cạnh liền kề bằng nhau (AN = NB) và 2 góc kề bằng nhau (góc ANB = góc BAN = 90 độ). Vậy tứ giác ANBM là hình thoi.

2) Để chứng minh DM vuông góc BC và BDC cân, ta sẽ sử dụng tính chất của đường cao và trung tuyến trong tam giác vuông.

Vì N là trung điểm của HM, nên ta có HN = HM.

Ta biết rằng trong tam giác vuông ABC, đường cao từ đỉnh A xuống BC cắt BC tại H. Vì H là trung điểm của AB, nên ta có AH = HB.

Vì HN = HM và AH = HB, nên ta có HN = HM = AH = HB. Vậy tam giác BHN là tam giác đều.

Do đó, góc BHN = 60 độ.

Ta biết rằng góc BDC là góc ở tâm của đường tròn nội tiếp tam giác BHN. Vì tam giác BHN là tam giác đều, nên góc BDC = 60 độ.

Vậy ta có DM vuông góc BC và BDC cân.

3) Để chứng minh E là trung điểm của NJ và MI // JK, ta sẽ sử dụng tính chất của trung điểm và song song.

Vì P là trung điểm của MA, nên ta có MP = PA.

Ta biết rằng HP song song với NJ. Vì I là trung điểm của HP, nên ta có HI = IP.

Vì M là trung điểm của AB, nên ta có ME || AB.

Ta biết rằng MI cắt đoạn thẳng NJ tại E. Vậy ta có ME || AB và HI = IP.

Do đó, E là trung điểm của NJ và MI || JK.

Phong Nguyen thanh · Answer

Thanh Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về hình học tứ giác và các đường thẳng đồng quy với nhau.

1) Ta có AM là trung tuyến của tam giác ABC, nên AM = MB (theo tính chất của trung tuyến).

Ta cũng có H là trung điểm của AB, nên AH = HB.

Do đó, AH = HB = HM.

Gọi I là trung điểm của MN, ta có HI cắt AB tại J.

Vì AI là đường trung tuyến của tam giác AMN, nên AI = IM.

Từ đó suy ra AIJ là tam giác cân tại I (do AI = IM) và AHJ là tam giác đều (do AH = HJ).

Vậy tứ giác ANBM là hình thoi (do AB // MN và AH = HJ).

2) Gọi G là giao điểm của BN và MD. Ta sẽ chứng minh DM vuông góc BC và BDC là tam giác cân.

Vì HG // BN (do HG và BN đều vuông góc với AB), nên ta có BG/BN = BH/HG (tỷ lệ hai tia tiếp xúc này).

Tương tự, ta có AG/AM = HJ/HI (tỷ lệ hai tia tiếp xúc này).

Mà tứ giác ANBM là hình thoi, nên ta có AB // MN và AH = HJ.

Do đó, ta có AG/AM = AH/HM = AH/HN.

Từ đó suy ra, BG/BN = AG/AM.

Vậy theo công thức Phạm Thùy, ta có BD // GM.

Như vậy, DM và BG là hai đường tiếp xúc của hai đường tròn nhỏ và lớn nên DM vuông góc với BC và BDC là tam giác cân (do BD = BC).

3) Gọi K' là giao điểm của AD và BC, E' là giao điểm của K'M và NJ.

Ta sẽ chứng minh K'M // NJ và E' là trung điểm của NJ.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác AMJ và hai đường chéo K'DM, ta có:

(AJ/JM) * (MK'/K'D) * (K'D/DJ) = 1.

Do JK' // DM, nên MK'/K'D = JK'/JD.

Từ đó suy ra (AJ/JM) * (JK'/JD) * (K'D/DJ) = 1.

Giả sử MA cắt DN tại J' thì ta cũng có (AJ'/J'M) * (JK'/JD) * (K'D/DJ') = 1.

Do đó, ta suy ra J = J'.

Từ đó suy ra K'M // NJ và E' là trung điểm của NJ (do ta đã chứng minh E' thuộc đường thẳng NJ).

Giả sử E khác J và E khác E', ta cũng có tương tự K = K' (vì K' thuộc đoạn thẳng AC và AM cắt K'N tại K' nên K' = K).

Từ đó, ta có JK // AC.

Nhưng JK // DM (từ phần trước), nên ta có DM // AC.

Điều này dẫn đến mâu thuẫn, vậy giả sử E = E' và E là trung điểm của NJ và MI // JK.

J&#x27;Hanry · Answer

{"userId":5055313,"userName":"Thanhh Thuu"}

Ta có AM là trung tuyến của tam giác ABC, do đó AM = MB.

Vì H là trung điểm của AB, nên AH = HB. Vì N nằm trên tia đối của tia HM và HN = HM, nên NH = HM.

Từ đó, ta có AN = AH + HN = AH + HM = AM + MB = AB.

Vậy tứ giác ANBM là hình thoi.

Vì N là trung điểm của HM, nên NM // BC (do NM là đường chéo của hình thoi ANBM).

Gọi đường thẳng qua N và vuông góc với BN là đường thẳng d.

Khi đó, DN cắt d tại D.

Vì BN // DM (do NM // BC), nên theo tính chất của đường thẳng song song, ta có BD // MN.

Vì NM là đường chéo của hình thoi ANBM, nên MN cắt AB thành hai đoạn bằng nhau.

Do đó, BD cắt AB thành hai đoạn bằng nhau, tức là BD = DA.

Vậy DM vuông góc BC và BDC là tam giác cân.

Gọi K là giao điểm của DM và AC.

Ta có MI // NJ (do HP song song với NJ và I là trung điểm của HP).

Gọi đường thẳng qua M và song song với JK là đường thẳng g.

Khi đó, NJ cắt g tại E.

Vì I là trung điểm của HP, nên IE cắt NJ thành hai đoạn bằng nhau.

Do đó, E là trung điểm của NJ.

Từ MI // JK và E là trung điểm của NJ, suy ra E cũng là trung điểm của MI.

Vậy E là trung điểm của NJ và MI // JK.

Cho ABC vuông tại A (AB < AC) và trung tuyến AM. Gọi H là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia HM lấy điểm N sao cho HN = HM. 1) Chứng minh AM = MB và tứ giác ANBM là hình thoi. 2) Qua N vẽ đường th...