Câu 47. Cho hai tập hợp A = {x ∈ R (m-2)x²-10x+1=0} và B = (0;+∞), với m là tham số. Có bao nhiêu số nguyên dương m để tập A có đúng bốn tập con, đồng thời ACB

1. Đây là một bài toán về tập hợp và phương trình bậc hai. Ta cần tìm số nguyên dương m để tập hợp A có đúng bốn tập con, đồng thời tập hợp B nằm giữa các tập con này. 2. Để giải bài toán này, ta cần làm các bước sau: a) Tìm các giá trị của x thỏa mãn phương trình (m-2)x² - 10x + 1 = 0. b) Xác định các tập con của tập hợp A dựa trên các giá trị x tìm được. c) Xác định các giá trị của m để tập hợp B nằm giữa các tập con của A. Bây giờ, chúng ta sẽ giải từng bước một: a) Để tìm các giá trị của x thỏa mãn phương trình (m-2)x² - 10x + 1 = 0, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Áp dụng vào phương trình ban đầu, ta có: \[x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(m-2)(1)}}{2(m-2)}\] \[x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4m + 8}}{2(m-2)}\] \[x = \frac{10 \pm \sqrt{108 - 4m}}{2(m-2)}\] Để phương trình có nghiệm, ta cần \(\Delta = 108 - 4m \geq 0\). Giải phương trình này, ta có: \[108 - 4m \geq 0\] \[-4m \geq -108\] \[m \leq 27\] b) Dựa vào các giá trị x tìm được, ta xác định các tập con của tập hợp A. - Khi \(x = \frac{10 + \sqrt{108 - 4m}}{2(m-2)}\), ta có một giá trị x thỏa mãn phương trình ban đầu. - Khi \(x = \frac{10 - \sqrt{108 - 4m}}{2(m-2)}\), ta có một giá trị x khác thỏa mãn phương trình ban đầu. c) Để tập hợp B nằm giữa các tập con của A, ta cần xác định các giá trị của m để: \[\frac{10 - \sqrt{108 - 4m}}{2(m-2)} < 0 < \frac{10 + \sqrt{108 - 4m}}{2(m-2)}\] Ta sẽ giải bất đẳng thức này: \[\frac{10 - \sqrt{108 - 4m}}{2(m-2)} < 0\] \[10 - \sqrt{108 - 4m} < 0\] \[\sqrt{108 - 4m} > 10\] \[108 - 4m > 100\] \[-4m > -8\] \[m < 2\] \[\frac{10 + \sqrt{108 - 4m}}{2(m-2)} > 0\] \[10 + \sqrt{108 - 4m} > 0\] \[\sqrt{108 - 4m} > -10\] \[108 - 4m > 100\] \[-4m > -8\] \[m < 2\] Từ hai bất đẳng thức trên, ta có \(m < 2\). Vậy, để tập hợp A có đúng bốn tập con và tập hợp B nằm giữa các tập con này, số nguyên dương m phải thỏa mãn điều kiện \(m \leq 27\) và \(m < 2\).