Câu 18 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A. Ba điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. a) (TH) Giải thích vì sao EF // AB. b) (VDC) Gọi K là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm...

1. Đây là một bài toán hình học trong tam giác vuông. Chúng ta cần chứng minh rằng EF song song với AB và chứng minh rằng ba điểm B, K, F thẳng hàng và KA = KF. a) Để giải thích tại sao EF // AB, ta sử dụng tính chất của trung điểm. Trung điểm của một đoạn thẳng là điểm nằm ở giữa hai đầu mút của đoạn thẳng đó. Vì D là trung điểm của AB và E là trung điểm của BC, nên ta có: \(\frac{AD}{DB} = \frac{BE}{EC} = 1\) Do đó, ta có tỉ số giữa các đoạn thẳng AD và DB bằng tỉ số giữa các đoạn thẳng BE và EC. Theo định lý Thales, khi tỉ số các đoạn thẳng trên hai đường thẳng chéo bằng nhau, ta có hai đường thẳng đó song song. Vì vậy, ta kết luận rằng EF // AB. b) Để chứng minh rằng ba điểm B, K, F thẳng hàng và KA = KF, ta sử dụng tính chất của trung điểm và đường trung bình. Vì K là trung điểm của DE, nên ta có: \(DK = KE\) Vì F là trung điểm của AC, nên ta có: \(AF = FC\) Từ tam giác vuông ABC, ta biết rằng \(AB^2 + BC^2 = AC^2\). Vì A là góc vuông, nên ta có: \(AB^2 = AC^2 - BC^2\) Đặt \(x = AC^2 - BC^2\), ta có: \(AB^2 = x\) Do đó, ta có: \(AD^2 = AB^2 - BD^2 = x - \frac{x}{4} = \frac{3x}{4}\) Tương tự, ta có: \(BE^2 = \frac{x}{4}\) Vì K là trung điểm của DE, nên ta có: \(DK^2 = \frac{3x}{4}\) và \(KE^2 = \frac{x}{4}\) Từ đó, ta suy ra: \(DK^2 = 3KE^2\) Theo định lý Pythagoras, khi tỉ số các bình phương của các cạnh trong một tam giác vuông bằng nhau, ta có hai cạnh đó song song. Vì vậy, ta kết luận rằng ba điểm B, K, F thẳng hàng và KA = KF.