Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với ABCD, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 45 độ. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD bằng

Question

LanAnh · Accepted Answer

Do SA$\displaystyle \bot ( ABCD)$ nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD)⟹ $\displaystyle \widehat{( SC,\ ( ABCD))} =\widehat{SCA} =45^{0}$
Ta có: $\displaystyle an SCA=\frac{SA}{AC} \Leftrightarrow an 45^{0} =\frac{SA}{2a\sqrt{2}} \Longrightarrow \ SA=2a\sqrt{2}$
Dựng AH vuông góc với SD ⟹ AH vuông góc với (SCD) ⟹ d(A, (SCD))=AH
Xét tam giác SAD vuông tại A có: $\displaystyle \frac{1}{AH^{2}} =\frac{1}{SA^{2}} +\frac{1}{AD^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{AH^{2}} =\frac{1}{\left( 2a\sqrt{2} ight)^{2}} +\frac{1}{( 2a)^{2}} \Longrightarrow AH=\frac{2\sqrt{6} a}{3}$
Do AB//CD nên $\displaystyle d( B,\ ( SCD)) =d( A,\ ( SCD)) =\frac{2\sqrt{6} a}{3}$

Timi · Answer

1. Đây là một bài toán hình học trong không gian. Vấn đề chính là tìm khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD.

Các bước giải quyết bài toán:
- Bước 1: Xác định vị trí của các điểm trong không gian.
- Bước 2: Tìm phương trình mặt phẳng SCD.
- Bước 3: Tìm khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD.

2. Giải quyết bài toán:

Bước 1: Xác định vị trí của các điểm trong không gian.
- Gọi O là tâm của đáy ABCD.
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng SCD.

Bước 2: Tìm phương trình mặt phẳng SCD.
- Vì SA vuông góc với ABCD, nên vector pháp tuyến của mặt phẳng SCD là vector SA.
- Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 45 độ, nên góc giữa vector SC và vector pháp tuyến của mặt phẳng SCD cũng bằng 45 độ.
- Ta có: $\vec{SC} \cdot \vec{SA} = |\vec{SC}| \cdot |\vec{SA}| \cdot \cos(45^\circ)$.
- Vì $\vec{SC} = \vec{OC} - \vec{OS}$ và $\vec{SA} = \vec{A} - \vec{S}$, nên ta có: $(\vec{OC} - \vec{OS}) \cdot (\vec{A} - \vec{S}) = |\vec{OC} - \vec{OS}| \cdot |\vec{A} - \vec{S}| \cdot \cos(45^\circ)$.
- Đặt $\vec{OC} = \begin{pmatrix} x_1 \ y_1 \ z_1 \end{pmatrix}$, $\vec{OS} = \begin{pmatrix} x_2 \ y_2 \ z_2 \end{pmatrix}$, $\vec{A} = \begin{pmatrix} x_3 \ y_3 \ z_3 \end{pmatrix}$, $\vec{S} = \begin{pmatrix} x_4 \ y_4 \ z_4 \end{pmatrix}$, ta có:
$(\begin{pmatrix} x_1 \ y_1 \ z_1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_2 \ y_2 \ z_2 \end{pmatrix}) \cdot (\begin{pmatrix} x_3 \ y_3 \ z_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_4 \ y_4 \ z_4 \end{pmatrix}) = |\begin{pmatrix} x_1 \ y_1 \ z_1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_2 \ y_2 \ z_2 \end{pmatrix}| \cdot |\begin{pmatrix} x_3 \ y_3 \ z_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_4 \ y_4 \ z_4 \end{pmatrix}| \cdot \cos(45^\circ)$.
- Giải phương trình trên để tìm phương trình mặt phẳng SCD.

Bước 3: Tìm khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD.
- Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD chính là khoảng cách từ điểm B đến điểm H (hình chiếu của B lên mặt phẳng SCD).
- Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ta có: $d = \frac{|\vec{BH} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$, trong đó $\vec{n}$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng SCD.

Với các bước trên, ta có thể giải quyết bài toán.