Tìm khoảng đồng biến của hàm số f(x)= x + cos2x

A. R\{0} B. (-∞; +∞) C. (-1; 1) D. (0; π

Question

Tìm khoảng đồng biến của hàm số f(x)= x + cos2x

A. R\{0}    B. (-∞; +∞)    C. (-1; 1)    D. (0; π

123anhanh · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
y=x+cos^{2} x\
\Longrightarrow y'=1-2cosx.sinx\
\Longrightarrow y'=cos^{2} x+sin^{2} x-2cosx.sinx\
\Longrightarrow y'=( cosx-sinx)^{2} \geqslant 0\ \forall x\in R
\end{array}$
$\displaystyle \Longrightarrow $hàm số đồng biến trên $\displaystyle ( -\infty ;+\infty )$
$\displaystyle \Longrightarrow B$

Timi · Answer

1. Đây là một bài toán về tìm khoảng đồng biến của hàm số. Chúng ta cần xác định các khoảng trên miền xác định của hàm số mà hàm số đồng biến hoặc nghịch biến.

Các bước để giải quyết bài toán này là:
- Tìm miền xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm của hàm số.
- Xác định điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
- Vẽ biểu đồ dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định được.
- Xác định khoảng đồng biến của hàm số từ biểu đồ dấu.

2. Giải quyết bài toán theo từng bước:

a) Tìm miền xác định của hàm số:
Hàm số f(x) = x + \cos(2x) có miền xác định là tập hợp tất cả các giá trị x mà \cos(2x) tồn tại. Vì \cos(2x) tồn tại cho mọi giá trị x, nên miền xác định của hàm số là R (tất cả các số thực).

b) Tính đạo hàm của hàm số:
Đạo hàm của hàm số f(x) = x + \cos(2x) là:
f&#x27;(x) = 1 - 2\sin(2x)

c) Xác định điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại:
Để tìm điểm mà đạo hàm bằng 0, giải phương trình 1 - 2\sin(2x) = 0:
2\sin(2x) = 1
\sin(2x) = \frac{1}{2}
2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad 	ext{hoặc} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad 	ext{với} \quad k \in \mathbb{Z}

Từ đó, ta có các giá trị của x là:
x = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad 	ext{hoặc} \quad x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \quad 	ext{với} \quad k \in \mathbb{Z}

d) Vẽ biểu đồ dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định được:
Chúng ta chia miền xác định R thành các khoảng dựa trên các giá trị x thuộc miền xác định và điểm x = \frac{\pi}{12}, x = \frac{5\pi}{12}. Ta chọn các giá trị kiểm tra trong từng khoảng để xác định dấu của đạo hàm.

- Khoảng (-\infty, \frac{\pi}{12}):
Chọn x = 0, ta có f&#x27;(0) = 1 - 2\sin(0) = 1 > 0

- Khoảng (\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}):
Chọn x = \frac{\pi}{6}, ta có f&#x27;(\frac{\pi}{6}) = 1 - 2\sin(\frac{\pi}{3}) = 1 - 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \sqrt{3} < 0

- Khoảng (\frac{5\pi}{12}, +\infty):
Chọn x = \frac{\pi}{3}, ta có f&#x27;(\frac{\pi}{3}) = 1 - 2\sin(\frac{2\pi}{3}) = 1 - 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \sqrt{3} < 0

e) Xác định khoảng đồng biến của hàm số từ biểu đồ dấu:
Từ biểu đồ dấu của đạo hàm, ta có:
- Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-\infty, \frac{\pi}{12}] và khoảng [\frac{5\pi}{12}, +\infty)

Vậy, khoảng đồng biến của hàm số f(x) = x + \cos(2x) là R\{0}.

Ebe cởi chuồng tắm mưa &lt;3 · Answer

{"userId":5171738,"userName":"yyyyyyyyy"}

B. (-∞; +∞)

ran bel va dzai · Answer

{"userId":5171738,"userName":"yyyyyyyyy"}

f'(x) = 1 - 2sinxcosx = sin2x + cos2x - 2.sinx.cosx = (sinx - cosx)2 ≥ 0 ∀x ∈ R

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)