Cho hình bình hành ABCD có AB=2AD . Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB,CD
a) Chứng minh AMND là hình thoi.
b) Chứng minh AN//MC .
c) Gọi E là giao điểm của AN và DM , F là giao điểm của MC với BN. Chứng minh EF//DC .
d) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để MENF là hình vuông

Question

Accepted Answer

a, Vì ABCD là hình bình hành nên $\displaystyle \begin{cases}
AB=CD & \
AD=BC & \
AB\parallel CD &
\end{cases}$
Vì M là trung điểm của AB nên $\displaystyle AB=2AM=2MB$
Vì N là trung điểm của CD nên $\displaystyle CD=2DN=2NC$
Lại có: $\displaystyle AB=2AD$
Do đó $\displaystyle AM=MB=DN=NC=AD=BC$
Xét tứ giác AMND có: $\displaystyle \begin{cases}
AM=DN & \
AM\parallel DN &
\end{cases}$
Do đó tứ giác AMND là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
Lại có: $\displaystyle AD=AM$
Do đó tứ giác AMND là hình thoi
b, Xét tứ giác AMCN có: $\displaystyle \begin{cases}
AM=CN & \
AM\parallel CN &
\end{cases}$
$\displaystyle \Longrightarrow $AMCN là hình bình hành
$\displaystyle \Longrightarrow AN\parallel CM$

c, Xét tứ giác BMNC có: $\displaystyle \begin{cases}
BM\parallel NC & \
MB=NC &
\end{cases}$
Do đó tứ giác BMNC là hình bình hành
$\displaystyle \Longrightarrow MC$ và NB cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
$\displaystyle \Longrightarrow $F là trung điểm của MC
Tứ giác AMND là hình thoi
$\displaystyle \Longrightarrow $AN và DM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
$\displaystyle \Longrightarrow $E là trung điểm của DM, AN
Xét $\displaystyle \vartriangle MDC$ có: E là trung điểm của DM, F là trung điểm của MC
Do đó EF là đường trung bình của $\displaystyle \vartriangle MCD$
$\displaystyle \Longrightarrow EF\parallel CD$

d,Vì E là trung điểm của AN nên $\displaystyle AN=2EN$
F là trung điểm của MC nên $\displaystyle MC=2MF$
Do đó $\displaystyle EN=MF$
Vì E là trung điểm của MD nên $\displaystyle MD=2EM$
Tứ giác AMND là hình thoi nên $\displaystyle AN\bot DM\Longrightarrow \widehat{MEN} =90^{0}$
Tứ giác MENF có: $\displaystyle \begin{cases}
EN=MF & \
EN\parallel MF &
\end{cases}$
Do đó tứ giác MENF là hình hình hành
Mà $\displaystyle \widehat{MEN} =90^{0}$
Do đó tứ giác MENF là hình chữ nhật
Để MENF là hình vuông thì $\displaystyle EN=EM$
$\displaystyle \Longrightarrow AN=DN\Longrightarrow $tứ giác AMND là hình vuông
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{ADC} =90^{0} \Longrightarrow $Tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Cho hình bình hành ABCD có AB=2AD . Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB,CD a) Chứng minh AMND là hình thoi. b) Chứng minh AN//MC . c) Gọi E là giao điểm của AN và DM , F là giao điểm của MC với BN....