Giúp mình với! Bài 8. Cho hai điểm $M, N$ lần lượt nằm trên hai cạnh $A B, A C$ của tam giác $A B C$ sao cho $\mathrm{AM} \cdot \mathrm{AB}=\mathrm{AN} \cdot \mathrm{AC}$. a) Chứng minh rằng...

Bài 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh rằng \(\triangle \mathrm{AMN} \sim \triangle \mathrm{ACB}\). Chứng minh: 1. Điều kiện cho trước: \[ \mathrm{AM} \cdot \mathrm{AB} = \mathrm{AN} \cdot \mathrm{AC} \] 2. Xét tỉ số: \[ \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AN}} = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}} \] 3. Góc chung: \(\angle \mathrm{MAN} = \angle \mathrm{CAB}\) (góc chung). 4. Kết luận: Theo trường hợp góc - cạnh - góc (G-C-G) của định lý đồng dạng, ta có: \[ \triangle \mathrm{AMN} \sim \triangle \mathrm{ACB} \] b) Chứng minh rằng \(\widehat{\mathrm{EAB}} = \widehat{\mathrm{FAC}}\). Chứng minh: 1. Tính chất trung điểm: - \(\mathrm{E}\) là trung điểm của \(\mathrm{MN}\). - \(\mathrm{F}\) là trung điểm của \(\mathrm{BC}\). 2. Tính chất đường trung bình: - Đường thẳng \(\mathrm{EF}\) là đường trung bình của hình thang \(\mathrm{MNCB}\), do đó \(\mathrm{EF} \parallel \mathrm{BC}\). 3. Góc đồng vị: - Vì \(\mathrm{EF} \parallel \mathrm{BC}\) và \(\mathrm{AB}\) là cát tuyến, nên \(\widehat{\mathrm{EAB}} = \widehat{\mathrm{ABC}}\). 4. Góc đồng vị khác: - Tương tự, vì \(\mathrm{EF} \parallel \mathrm{BC}\) và \(\mathrm{AC}\) là cát tuyến, nên \(\widehat{\mathrm{FAC}} = \widehat{\mathrm{ACB}}\). 5. Kết luận: - Từ \(\triangle \mathrm{AMN} \sim \triangle \mathrm{ACB}\), ta có \(\widehat{\mathrm{MAN}} = \widehat{\mathrm{ACB}}\). - Do đó, \(\widehat{\mathrm{EAB}} = \widehat{\mathrm{FAC}}\). Vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.