Chứng minh rằng tồn tại 1 số là bội của 19 có tổng các chữ số bằng 19

Để chứng minh rằng tồn tại một số là bội của 19 có tổng các chữ số bằng 19, ta sẽ sử dụng phương pháp đối chứng. Giả sử không tồn tại số nào là bội của 19 có tổng các chữ số bằng 19. Ta sẽ chứng minh rằng giả định này dẫn đến mâu thuẫn. Xét một số nguyên dương bất kỳ là bội của 19, gọi là N. Ta biểu diễn N dưới dạng: \[N = a_0 + a_1 \cdot 10^1 + a_2 \cdot 10^2 + \ldots + a_n \cdot 10^n\] trong đó \(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n\) là các chữ số của N và \(a_n\) là chữ số hàng đơn vị. Theo giả định, tổng các chữ số của N không thể bằng 19. Tức là: \[a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_n \neq 19\] Tuy nhiên, ta có thể biểu diễn tổng các chữ số của N theo công thức sau: \[a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_n = (a_0 + a_1 \cdot 10^1 + a_2 \cdot 10^2 + \ldots + a_n \cdot 10^n) \mod 9\] Vì N là bội của 19, nên ta có: \[N \equiv 0 \mod 19\] Từ đó, ta suy ra: \[(a_0 + a_1 \cdot 10^1 + a_2 \cdot 10^2 + \ldots + a_n \cdot 10^n) \mod 9 \equiv 0 \mod 19\] Nhưng điều này mâu thuẫn với giả định ban đầu. Vậy giả định không tồn tại số nào là bội của 19 có tổng các chữ số bằng 19 là sai. Do đó, ta kết luận rằng tồn tại ít nhất một số là bội của 19 có tổng các chữ số bằng 19. Một số ví dụ cụ thể là số 874, với tổng các chữ số là 8 + 7 + 4 = 19.