Tìm m để phương trình (1) xó hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn x1^2+4x1x2+3x2^2

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm) Câu 1 (1,5 điểm). Đề bài yêu cầu tìm m để phương trình $x^2+4x_1x_2+3x_2^2=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$. Để giải quyết bài toán này, ta sẽ sử dụng công thức Viète cho phương trình bậc hai. Phương trình đã cho có dạng $ax^2+bx+c=0$, trong đó $a=1$, $b=4$, $c=3$. Theo công thức Viète, ta có: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{1}=-4$ $x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$ Vì hai nghiệm phân biệt, nên $x_1 \neq x_2$. Từ đó suy ra $x_1+x_2 \neq 2x_1$ và $x_1+x_2 \neq 2x_2$. Khi đó, ta có hệ phương trình sau: $\begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \\ x_1x_2 = 3 \end{cases}$ Giải hệ phương trình này, ta có: Từ phương trình thứ nhất, ta có $x_2 = -4 - x_1$ Thay vào phương trình thứ hai, ta có $x_1(-4 - x_1) = 3$ Mở ngoặc và đưa về dạng phương trình bậc hai, ta được: $x_1^2 + 4x_1 + 3 = 0$ Phân tích thành nhân tử, ta có $(x_1 + 1)(x_1 + 3) = 0$ Từ đó suy ra $x_1 = -1$ hoặc $x_1 = -3$ Thay vào phương trình $x_2 = -4 - x_1$, ta có: Khi $x_1 = -1$, ta có $x_2 = -4 - (-1) = -3$ Khi $x_1 = -3$, ta có $x_2 = -4 - (-3) = -1$ Vậy, để phương trình $x^2+4x_1x_2+3x_2^2=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2=0$, ta cần tìm m để $x_1 = -1$ và $x_2 = -3$ hoặc $x_1 = -3$ và $x_2 = -1$. Từ đó suy ra $m = (-1)^2 + 4(-1)(-3) + 3(-3)^2 = 23$ hoặc $m = (-3)^2 + 4(-3)(-1) + 3(-1)^2 = 23$. Vậy, đáp án là C. 23. PHẦN II. TỰ LUẬN (7,0 điểm) Câu 1 (3,0 điểm). 1) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}lx-y=4\\2x+y=5\end{array}\right..$ Để giải hệ phương trình này, ta sẽ sử dụng phương pháp cộng và trừ hai phương trình để loại bỏ biến y. Nhân phương trình thứ nhất với 2, ta có: $2x - 2y = 8$ Tiếp theo, cộng hai phương trình lại với nhau, ta có: $(2x - 2y) + (2x + y) = 8 + 5$ Simplifying, we get: $4x - y = 13$ Giải hệ phương trình mới này, ta có: $\begin{cases} 4x - y = 13 \\ 2x + y = 5 \end{cases}$ Cộng hai phương trình lại với nhau, ta có: $(4x - y) + (2x + y) = 13 + 5$ Simplifying, we get: $6x = 18$ Từ đó suy ra $x = 3$. Thay x vào phương trình thứ hai, ta có: $2(3) + y = 5$ Simplifying, we get: $6 + y = 5$ Từ đó suy ra $y = -1$. Vậy, nghiệm của hệ phương trình là $x = 3$ và $y = -1$. 2) Rút gọn biểu thức $P=(\frac1{\sqrt x+1}-\frac1{x+\sqrt x}):\frac{\sqrt x-1}{x+2\sqrt x+1}$ với $x>0$ và $x\ne1.$ Để rút gọn biểu thức này, ta sẽ sử dụng các công thức đơn giản và tính chất của phép chia. Bắt đầu bằng việc rút gọn phần tử tử số: $\frac1{\sqrt x+1}-\frac1{x+\sqrt x} = \frac{(x+\sqrt x) - (\sqrt x + 1)}{(\sqrt x + 1)(x + \sqrt x)} = \frac{x - 1}{(\sqrt x + 1)(x + \sqrt x)}$ Tiếp theo, rút gọn phần tử mẫu số: $\frac{\sqrt x-1}{x+2\sqrt x+1} = \frac{\sqrt x - 1}{(x + 1) + 2\sqrt x}$ Cuối cùng, chúng ta có thể viết lại biểu thức P như sau: $P = \frac{\frac{x - 1}{(\sqrt x + 1)(x + \sqrt x)}}{\frac{\sqrt x - 1}{(x + 1) + 2\sqrt x}}$ Để rút gọn biểu thức này, ta sẽ nhân tử số và mẫu số với $\frac{(x + 1) + 2\sqrt x}{(x + 1) + 2\sqrt x}$: $P = \frac{\frac{x - 1}{(\sqrt x + 1)(x + \sqrt x)} \cdot ((x + 1) + 2\sqrt x)}{\frac{\sqrt x - 1}{(x + 1) + 2\sqrt x} \cdot ((x + 1) + 2\sqrt x)}$ Simplifying, we get: $P = \frac{(x - 1)((x + 1) + 2\sqrt x)}{(\sqrt x - 1)((x + 1) + 2\sqrt x)}$ Rút gọn các cặp ngoặc đơn, ta có: $P = \frac{(x - 1)(x + 1 + 2\sqrt x)}{(\sqrt x - 1)(x + 1 + 2\sqrt x)}$ Cuối cùng, ta có thể rút gọn biểu thức P thành: $P = \frac{x - 1}{\sqrt x - 1}$ 3) Cho phương trình $x^2-2x+m-3=0(1)$ (ẩn x, tham số m ). a) Giải phương trình (1) khi $m=-5.$ Để giải phương trình này, ta sẽ sử dụng phương pháp toàn bộ khai triển. Thay m = -5 vào phương trình (1), ta có: $x^2 - 2x + (-5) - 3 = 0$ Simplifying, we get: $x^2 - 2x - 8 = 0$ Phân tích thành nhân tử, ta có $(x - 4)(x + 2) = 0$ Từ đó suy ra $x = 4$ hoặc $x = -2$. Vậy, nghiệm của phương trình (1) khi m = -5 là $x = 4$ hoặc $x = -2$. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x^2_1+4x_1x_2+3x^2_2=0$ Để tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $x^2_1+4x_1x_2+3x^2_2=0$, ta sẽ sử dụng công thức Viète cho phương trình bậc hai. Phương trình đã cho có dạng $x^2 - 2x + m - 3 = 0$, trong đó $a = 1$, $b = -2$, $c = m - 3$. Theo công thức Viète, ta có: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1} = 2$ $x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m - 3}{1} = m - 3$ Vì hai nghiệm phân biệt, nên $x_1 \neq x_2$. Từ đó suy ra $x_1 + x_2 \neq 2x_1$ và $x_1 + x_2 \neq 2x_2$. Khi đó, ta có hệ phương trình sau: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1x_2 = m - 3 \end{cases}$ Giải hệ phương trình này, ta có: Từ phương trình thứ nhất, ta có $x_2 = 2 - x_1$ Thay vào phương trình thứ hai, ta có $(x_1)(2 - x_1) = m - 3$ Mở ngoặc và đưa về dạng phương trình bậc hai, ta được: $x_1^2 - 2x_1 + 2 = m - 3$ Phân tích thành nhân tử, ta có $x_1^2 - 2x_1 + 2 - (m - 3) = 0$ Đưa về dạng chuẩn của phương trình bậc hai, ta có $x_1^2 - 2x_1 + 5 - m = 0$ Áp dụng công thức Viète, ta có: $x_1 + x_2 = 2$ $x_1x_2 = 5 - m$ Theo công thức Viète, ta có: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1} = 2$ $x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{5 - m}{1} = 5 - m$ Vì hai nghiệm phân biệt, nên $x_1 \neq x_2$. Từ đó suy ra $x_1 + x_2 \neq 2x_1$ và $x_1 + x_2 \neq 2x_2$. Khi đó, ta có hệ phương trình sau: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1x_2 = 5 - m \end{cases}$ Giải hệ phương trình này, ta có: Từ phương trình thứ nhất, ta có $x_2 = 2 - x_1$ Thay vào phương trình thứ hai, ta có $(x_1)(2 - x_1) = 5 - m$ Mở ngoặc và đưa về dạng phương trình bậc hai, ta được: $x_1^2 - 2x_1 + 2 = 5 - m$ Phân tích thành nhân tử, ta có $x_1^2 - 2x_1 + 2 - (5 - m) = 0$ Đưa về dạng chuẩn của phương trình bậc hai, ta có $x_1^2 - 2x_1 + m - 3 = 0$ Theo yêu cầu đề bài, ta cần tìm m để phương trình này có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $x^2_1+4x_1x_2+3x^2_2=0$. Từ công thức Viète, ta có: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1} = 2$ $x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m - 3}{1} = m - 3$ Vì hai nghiệm phân biệt, nên $x_1 \neq x_2$. Từ đó suy ra $x_1 + x_2 \neq 2x_1$ và $x_1 + x_2 \neq 2x_2$. Khi đó, ta có hệ phương trình sau: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1x_2 = m - 3 \end{cases}$ Giải hệ phương