Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, có SA vuông góc (ABCD). gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB và SD. chứng minh rằng HK vuông góc với (SAC)

Ta có: - Gọi M là trung điểm của cạnh SB. - Gọi N là trung điểm của cạnh SD. - Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng MN. Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên SA vuông góc với cả SB và SD. Do đó, AH và AK lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Vì M là trung điểm của SB, nên MH vuông góc với SB và MA = MB. Tương tự, NH vuông góc với SD và NA = ND. Do đó, ta có: - Tam giác SMA và tam giác SNA là tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng bằng 1/2 (do MA = MB và NA = ND). - Vì O là trung điểm của MN, nên OM = ON và MO // NA, NO // MA. - Vì HK là đường thẳng nối H và K, nên HK // SB và HK // SD. Từ đó, ta có: - Tam giác OHM và tam giác ONK là tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng bằng 1/2 (do OM = ON và MO // NA, NO // MA). - Vì HK // SB và HK // SD, nên HK // MN. - Vì O là trung điểm của MN, nên HK cắt MN tại O và HO = KO. Vậy, ta có HK vuông góc với (SAC).