Tìm m để parabol cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt

Bài 11: Để tìm giá trị của m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $x_1$ và $x_2$ sao cho $P = x_1x_2 - x_1 - x_2$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần giải phương trình sau: $x_1x_2 - x_1 - x_2 = \frac{1}{4}x_1^2 + \frac{1}{4}x_2^2 - x_1 - x_2 = \frac{1}{4}(x_1^2 + x_2^2) - (x_1 + x_2)$ Vì parabol (P) có phương trình $y = -x^2$, nên ta thay $y$ bằng $-x^2$ trong phương trình đường thẳng (d): $-x^2 = -2mx + m^2 - m + 3$ Simplifying the equation, we get: $x^2 + 2mx - m^2 + m - 3 = 0$ Để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt, ta cần giải phương trình trên có hai nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với việc định thức của hệ số bậc hai của phương trình trên lớn hơn 0: $\Delta = (2m)^2 - 4(-m^2 + m - 3) > 0$ Simplifying the inequality, we get: $4m^2 + 4m + 12 > 0$ Điều kiện này luôn đúng với mọi giá trị của m, vì bất kỳ giá trị nào của m cũng làm cho định thức $\Delta$ lớn hơn 0. Vậy, không có giới hạn cho giá trị của m để phương trình (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $x_1$ và $x_2$ sao cho $P = x_1x_2 - x_1 - x_2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 12: Để tìm giá trị của m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt, ta cần giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} y = x^2 \\ y = 2(m-1)x + m^2 + 2m \end{cases}$ Thay $y$ trong phương trình parabol (P) bằng $2(m-1)x + m^2 + 2m$, ta có: $x^2 = 2(m-1)x + m^2 + 2m$ Simplifying the equation, we get: $x^2 - 2(m-1)x - m^2 - 2m = 0$ Để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt, ta cần giải phương trình trên có hai nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với việc định thức của hệ số bậc hai của phương trình trên lớn hơn 0: $\Delta = (-2(m-1))^2 - 4(1)(-m^2 - 2m) > 0$ Simplifying the inequality, we get: $4(m-1)^2 + 4(m^2 + 2m) > 0$ Điều kiện này luôn đúng với mọi giá trị của m, vì bất kỳ giá trị nào của m cũng làm cho định thức $\Delta$ lớn hơn 0. Vậy, không có giới hạn cho giá trị của m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt. Bài 13: Để tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt $A(x_1, y_1)$ và $B(x_2, y_2)$ thỏa $x_1x_2 + y_1y_2 = 5$, ta cần giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} y = \frac{1}{2}x^2 \\ y = -x + m \end{cases}$ Thay $y$ trong phương trình parabol (P) bằng $-x + m$, ta có: $\frac{1}{2}x^2 = -x + m$ Simplifying the equation, we get: $x^2 + 2x - 2m = 0$ Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt, ta cần giải phương trình trên có hai nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với việc định thức của hệ số bậc hai của phương trình trên lớn hơn 0: $\Delta = 2^2 - 4(1)(-2m) > 0$ Simplifying the inequality, we get: 4 + 8m > 0 Điều kiện này luôn đúng với mọi giá trị của m, vì bất kỳ giá trị nào của m cũng làm cho định thức $\Delta$ lớn hơn 0. Vậy, không có giới hạn cho giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt $A(x_1, y_1)$ và $B(x_2, y_2)$ thỏa $x_1x_2 + y_1y_2 = 5$. Bài 14: Đường thẳng d đi qua điểm M(0, 1) có hệ số góc k. Để tìm phương trình của đường thẳng d, ta sử dụng công thức: $y - y_1 = k(x - x_1)$ Thay $x_1 = 0$ và $y_1 = 1$, ta có: $y - 1 = kx$ Simplifying the equation, we get: $y = kx + 1$ Để tìm điểm cắt giữa parabol (P) và đường thẳng d, ta giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} y = x^2 \\ y = kx + 1 \end{cases}$ Thay $y$ trong phương trình parabol (P) bằng $kx + 1$, ta có: $x^2 = kx + 1$ Simplifying the equation, we get: $x^2 - kx - 1 = 0$ Để parabol (P) cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt, ta cần giải phương trình trên có hai nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với việc định thức của hệ số bậc hai của phương trình trên lớn hơn 0: $\Delta = (-k)^2 - 4(1)(-1) > 0$ Simplifying the inequality, we get: $k^2 + 4 > 0$ Điều kiện này luôn đúng với mọi giá trị của k, vì bất kỳ giá trị nào của k cũng làm cho định thức $\Delta$ lớn hơn 0. Vậy, không có giới hạn cho giá trị của hệ số góc k để parabol (P) cắt đường thẳng d đi qua điểm M(0, 1).