cho x,y,z>0 tm: xyz(x+y+z)=1.CMR:√[(x^2+1/y^2)(y^2+1/z^2)(z^2+1/x^2)]=(x+y)(y+z)(z+x)

:)

√[(x^2+1/y^2)(y^2+1/z^2)(z^2+1/x^2)] = (x+y)(y+z)(z+x), ta sẽ thực hiện các bước sau:

Từ xyz(x+y+z) = 1, ta có thể suy ra:

x = 1/(yz(y+z))

y = 1/(zx(z+x))

z = 1/(xy(x+y))

Thay giá trị của x, y và z vào cả hai phía của phương trình:

√[(x^2+1/y^2)(y^2+1/z^2)(z^2+1/x^2)] = (x+y)(y+z)(z+x)

Ta có:

(x^2+1/y^2) = (1/(yz(y+z)))^2 + (1/y^2)

= (1/(y^2z^2(y+z)^2)) + (1/y^2)

= (1+y^2z^2(y+z)^2)/(y^2z^2(y+z)^2)

(y^2+1/z^2) = (1/(zx(z+x)))^2 + (1/z^2)

= (1/(z^2x^2(z+x)^2)) + (1/z^2)

= (1+z^2x^2(z+x)^2)/(z^2x^2(z+x)^2)

(z^2+1/x^2) = (1/(xy(x+y)))^2 + (1/x^2)

= (1/(x^2y^2(x+y)^2)) + (1/x^2)

= (1+x^2y^2(x+y)^2)/(x^2y^2(x+y)^2)

Và:

(x+y)(y+z)(z+x) = [(1/(yz(y+z))) + y][(1/(zx(z+x))) + z][(1/(xy(x+y))) + x]

= [(1+y^2z^2(y+z)^2)/(y^2z(y+z))] * [(1+z^2x^2(z+x)^2)/(z^2x(z+x))] * [(1+x^2y^2(x+y)^2)/(x^2y(x+y))]

= [(1+y^2z^2(y+z)^2)(1+z^2x^2(z+x)^2)(1+x^2y^2(x+y)^2)] / [x^2y^2z^2(x+y)(y+z)(z+x)]

Ta thấy rằng xyz(x+y+z) = 1, nên ta có thể thay thế vào phương trình trên:

[(1+y^2z^2(y+z)^2)(1+z^2x^2(z+x)^2)(1+x^2y^2(x+y)^2)] / [x^2y^2z^2(x+y)(y+z)(z+x)] = 1