Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Kẻ AD vuông góc xy và BC vuông góc xy
a, Chứng minh MC=MD
b, Chứng minh tổng AD+BC có giá trị không phụ thuộc vị trí điểm M trên nửa đường tròn
c, Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB
d, Xác định vị trí điểm M để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất

Question

trinhthikieuan · Accepted Answer

a, Ta có:
$\displaystyle \begin{cases}
MO\bot xy & \
AD\bot xy & \
BC\bot xy &
\end{cases} \Longrightarrow MO\parallel AD\parallel BC$ (1)
Gọi M' là trung điểm của CD
Mà O là trung điểm của AB
Do đó M'O là đường trung bình của hình thang ABCD
$\displaystyle \Longrightarrow M'O\parallel AD\parallel BC$ (2)
Từ (1) và (2) ta có: $\displaystyle M\equiv M'$
Do đó M là trung điểm của CD
$\displaystyle \Longrightarrow MC=MD$
b, Vì MO là đường trung bình của hình thang ABCD
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow AD+BC=2MO\
\Longrightarrow AD+BC=AB\ không\ đổi
\end{array}$
Vậy AD+BC không phụ thuộc và vị trí của M

Timi · Answer

a. Để chứng minh MC = MD, ta sử dụng tính chất của đường tiếp tuyến và đường phân giác trong hình tròn.

Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn, nên góc OAM = 90°.
Tương tự, vì BM cũng là tiếp tuyến của đường tròn, nên góc OBM = 90°.

Do đó, tam giác OAM và tam giác OBM là hai tam giác vuông cân.
Vì OA = OB (vì AB là đường kính), và góc OAM = góc OBM (vì AM và BM là hai tiếp tuyến), nên ta có:
tam giác OAM ≅ tam giác OBM (theo nguyên lý cạnh-góc-cạnh).

Từ đây suy ra MA = MB (do hai tam giác cân) và MC = MD (do hai cạnh bằng nhau).

b. Để chứng minh tổng AD + BC không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên nửa đường tròn, ta sử dụng tính chất của các góc trong hình tròn.

Gọi E là giao điểm của AD và BC. Ta có:
Góc AED + Góc BEC = 180° (góc ở tâm)
Góc AED + Góc BED + Góc BEC = 180° (tổng các góc trong tam giác)

Vì góc AED và góc BEC là hai góc vuông (do AD và BC vuông góc với xy), nên:
Góc BED = 180° - Góc AED - Góc BEC = 0°

Do đó, tứ giác ABCD là một hình bình hành.
Trong một hình bình hành, tổng đường chéo bằng hai lần độ dài cạnh.

Vậy, tổng AD + BC không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên nửa đường tròn.

c. Để chứng minh đường tròn CD tiếp xúc với AB, ta sử dụng tính chất của các góc trong hình tròn.

Gọi F là giao điểm của CD và AB. Ta có:
Góc CFD + Góc CFA = 180° (góc ở tâm)
Góc CFD + Góc DFC + Góc CFA = 180° (tổng các góc trong tam giác)

Vì góc DFC là một gốc nhọn (do MC < MD), nên:
Góc CFD + Góc DFC < 180°

Từ đây suy ra: Góc CFA > 0°

Do đó, CF không thể cắt AB tại một điểm khác F.
Vậy, CD tiếp xúc với AB.

d. Để xác định vị trí điểm M để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất, ta sử dụng công thức diện tích của tứ giác.

Gọi x là độ dài AM (hay MB). Ta cần tìm giá trị của x để diện tích của tứ giác ABCD là lớn nhất.

Diện tích của tứ giác ABCD được tính bằng công thức Heron:
Diện tích = √[s(s-AB)(s-AD)(s-BC)]

Trong đó, s là nửa chu vi của tứ giác ABCD:
s = (AB + AD + BC) / 2

Để tìm x để diện tích là lớn nhất, ta có thể tìm giá trị lớn nhất của hàm số Diện tích(x).

Tuy nhiên, việc tìm hàm số này và điểm cực trị không phải là một bài toán đơn giản. Đòi hỏi phải sử dụng các phương pháp cao cấp trong toán học như đạo hàm và phân tích biến thiên.

Vì vậy, để xác định vị trí điểm M để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất, cần sử dụng các kỹ thuật toán học phức tạp hơn và không thể được giải quyết chỉ bằng mã Python.

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Kẻ AD vuông góc xy và BC vuông góc xy a, Chứng minh MC=MD b, Chứng minh tổng AD+BC có giá trị không phụ thuộc...