Tìm các số hữu tỉ dương x,y thỏa mãn x+y+1/x+1/y là một lũy thừa của 2.

Đây là một bài toán thuộc lớp bài toán số học, cụ thể là tìm các số hữu tỉ thỏa mãn một phương trình. Bước 1: Đặt $x = \frac{a}{b}$ và $y = \frac{c}{d}$ (với $a,b,c,d$ là các số nguyên dương và $\gcd(a,b) = \gcd(c,d) = 1$). Khi đó, ta có: $x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = x + y + \frac{b}{a} + \frac{d}{c}$ Bước 2: Rút gọn biểu thức trên, ta được: $\frac{ad+bc+bd+ac}{abc} = 2^n$ (với $n$ là một số nguyên) Bước 3: Vì $ad+bc+bd+ac$ và $abc$ đều là các số nguyên dương nên $2^n$ cũng phải là một số nguyên dương. Do đó, ta có: $ad+bc+bd+ac=2^np$, và $abc=2^nq$ trong đó p,q là các số nguyên không âm. Bước 4: Từ hai phương trình trên, ta suy ra được: $p=\frac{ad+bc+bd+ac}{2^n}=a\left(\frac{d+b+c}{2^n}\right)$ Vì a và $\left(\frac{d+b+c}{2^n}\right)$ đều là số nguyên dương nên p cũng phải là một số nguyên dương. Tương tự, ta có: $q=\frac{abc}{2^n}=a\left(\frac{bcd}{2^n}\right)$ Vì a và $\left(\frac{bcd}{2^n}\right)$ đều là số nguyên dương nên q cũng phải là một số nguyên dương. Bước 5: Từ bước 4, ta suy ra được a chia hết cho $2^n$. Do đó, a phải có dạng $a=2^nk$ (với k là một số nguyên không âm). Thay a vào hai phương trình ở bước 3, ta được: $ad+bc+bd+ac=2^{n}p=2^{n}k(d+b+c)$ và $abc=2^{n}q=2^{n}kbc$ Từ đây, ta thấy rằng $d+b+c=p$ và $bc=q$. Bước 6: Vì p,q,k,d,b,c đều là các số nguyên không âm nên x,y cũng phải là các số hữu tỉ không âm. Do đó, tập hợp giá trị của x,y thỏa mãn điều kiện ban đầu sẽ là: $x = \frac{a}{b} = \frac{2^nk}{p}$ và $y = \frac{c}{d} = \frac{2^nk}{q}$ với k,p,q là các số nguyên không âm.