cho đường tròn (O) đường kính BC. Điểm A thuộc đoạn OB (A ko trùng với O và B), vẽ đường tròn (O') đường kính AC. Đường tròn đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB cắt đường tròn (O)...

Loại bài toán: Bài toán về đường tròn trong hình học không gian. Bước 1: Xác định các điểm và đường tròn đã cho Chúng ta có đường tròn (O) với đường kính BC. Điểm A nằm trên đoạn OB (A không trùng với O và B). Đường tròn (O') có đường kính AC. Một đường tròn khác đi qua điểm M - là trung điểm của AB, vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại D và E. F là giao điểm thứ hai của CD với đường tròn (O'), K là giao điểm thứ hai của CE với đường tròn (O'). Bước 2: Chứng minh E, A, F thẳng hàng Để chứng minh E, A, F thẳng hàng, chúng ta cần chứng minh rằng $\overrightarrow{EA} = k\overrightarrow{EF}$ cho một số thực k. Do $CD$ cắt $(O)$ tại $D$ và $F$, nên theo tính chất dây cung ta có $\angle CDF = \angle COF$. Tương tự, do $CE$ cắt $(O)$ tại $E$ và $K$, nên $\angle CEK = \angle COE$. Vì $(O)$ và $(O')$ là hai hình vuông nên $\angle COF = \angle COE = 90^{\circ}$. Vậy $\angle CDF = \angle CEK = 90^{\circ}$, suy ra $DF$ vuông góc với $EK$. Do đường tròn $(O')$ đi qua $M$ và vuông góc với $AB$, nên tâm $(O')$ thuộc đường thẳng $DE$. Vì vậy, ta có: $\overrightarrow{DO'} = k\overrightarrow{DE}$. Từ đây, ta có: $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AF} = k(\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EK})$ Hay là: $\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} = k\overrightarrow{EK}$ Vì $DF$ vuông góc với $EK$, nên khi nhân hai vế của phương trình trên cho $\overrightarrow{DF}$, ta được: $\overrightarrow{EA}.\overrightarrow{DF} + \overrightarrow{AF}.\overrightarrow{DF}= k\cdot0$ Hay là: $\frac{-1}{2}\cdot AF^{2}=0$ Suy ra: $AF=0$, tức là E, A, F thẳng hàng.