tìm các số thực x,y,z biết x+y-7/z = y+z+2/x = x+z+5/y = 6/x+y+z

Question

gaconlonton · Accepted Answer

$\displaystyle \frac{x+y-7}{z} \ =\ \frac{y+z+2}{x} \ =\ \frac{x+z+5}{y} \ =\ \frac{6}{x+y+z}$
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được
$\displaystyle \frac{x+y-7}{z} \ =\ \frac{y+z+2}{x} \ =\ \frac{x+z+5}{y} \ =\ \frac{2x\ +\ 2y\ +\ 2z}{x\ +\ y\ +\ z} \ =\ 2$
⟹ $\displaystyle \frac{6}{x\ +\ y\ +\ z} \ =\ 2$
⟹ $\displaystyle x\ +\ y\ +\ z\ =\ 3$
+) $\displaystyle \frac{x+y-7}{z} \ =\ 2$
⟹ $\displaystyle x\ +\ y\ -\ 7\ =\ 2z$
⟹ $\displaystyle x\ +\ y\ +\ z\ -\ 7\ =\ 3z$
⟹ $\displaystyle 3\ -\ 7\ =\ 3z$
⟹ $\displaystyle 3z\ =\ -4$
⟹ $\displaystyle z\ =\ \frac{-4}{3}$
+) $\displaystyle \frac{y+z+2}{x} \ =\ 2$
⟹ $\displaystyle y\ +\ z\ +\ 2\ =\ 2x$
⟹ $\displaystyle x\ +\ y\ +\ z\ +\ 2\ =\ 3x$
⟹ $\displaystyle 3\ +\ 2\ =\ 3x$
⟹ $\displaystyle 3x\ =\ 5$
⟹ $\displaystyle x\ =\ \frac{5}{3}$
$\displaystyle x\ +\ y\ +\ z\ =\ 3$
⟹ $\displaystyle \frac{5}{3} \ +\ y\ -\ \frac{4}{3} \ =\ 3$
⟹ $\displaystyle y\ +\ \frac{1}{3} \ =\ 3$
⟹ $\displaystyle y\ =\ \frac{26}{3}$

Timi · Answer

Đây là một bài toán về hệ phương trình. Để giải quyết nó, chúng ta sẽ tiếp cận từng bước.

Bước 1: Chúng ta có thể viết lại hệ phương trình như sau:

$$
\begin{cases}
x + y - \frac{7}{z} = 6 \
y + z + \frac{2}{x} = 6 \
x + z + \frac{5}{y} = 6
\end{cases}
$$

Bước 2: Cộng tất cả các phương trình lại, ta được:

$$2(x+y+z) - \frac{7}{z} + \frac{2}{x} + \frac{5}{y} = 18$$

Vì $x+y+z$ không bằng không (nếu không, các phương trình ban đầu sẽ không thỏa mãn), ta có thể chia hai vế cho $x+y+z$ để thu gọn biểu thức:

$$2 - \frac{7}{xz} + \frac{2}{xy} + \frac{5}{yz} = \frac{18}{x+y+z}$$

Bước 3: Đặt $a=x+y+z, b=xy+yz+xz, c=xyz$. Khi đó, hệ phương trình ban đầu có thể viết lại dưới dạng:

$$a^3 - ab + 7c = 0$$
$$b^3 - ab^2 + 14ac = 0$$
$$c^3 - abc^2 + 21a^2c = 0$$

Bước 4: Giải hệ phương trình trên để tìm $a, b, c$, sau đó giải hệ phương trình $\begin{cases} x+y+z=a \ xy+yz+xz=b \ xyz=c \end{cases}$ để tìm $x, y, z$.

Lưu ý: Bài toán này khá phức tạp và có thể không có nghiệm trong số thực.