Giải chi tiết với ạ !!!: Cho A= 1/4 + 1/9 + 1/16 +...+ 1 2014^ 2 . Hãy chứng tỏ rằng A < 3/4

Loại bài toán này là bài toán về dãy số và giới hạn. Đầu tiên, ta nhận thấy rằng dãy số đã cho là một dãy số có công thức tổng quát $a_n = \frac{1}{n^2}$ với $n$ chạy từ 2 đến 2014. Để chứng minh $A < \frac{3}{4}$, ta sẽ sử dụng phương pháp so sánh từng cặp hạng tử của dãy. Ta có: $\frac{1}{n^2} < \frac{1}{(n-1)n}$ với mọi $n > 2$. Điều này có nghĩa là mỗi hạng tử của dãy số ban đầu đều nhỏ hơn hạng tử tương ứng trong dãy mới. Dựa trên điều này, ta có: $A = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} +...+ \frac{1}{2014^2}$ $< \frac{1}{2*3} + \frac{1}{3*4} +...+ \frac{1}{2013*2014}$ Khi tính tổng các phân số trên, ta thấy rằng mỗi hạng tử sau cùng sẽ huỷ bỏ một phần của hạng tử trước nó. Cụ thể: $\frac{1}{2*3} + \frac{1}{3*4} +...+ \frac{1}{2013*2014}$ $= (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) +...+ (\frac{1}{2013} - \frac{1}{2014})$ $= \frac{1}{2} - \frac{1}{2014}$ Vì $\frac{1}{2} - \frac{1}{2014}$ chắc chắn nhỏ hơn $\frac{3}{4}$, nên ta có thể kết luận rằng $A < \frac{3}{4}$. Vậy, ta đã chứng minh được điều cần thiết.