Áp dụng định lí Pythagore giải bài toán sau: Cho tam giác ABC tù tại A, đường cao AH. Biết AB = 15 cm, AC = 41 cm, BH = 12 cm. Tính HC

Để giải bài toán này, ta sử dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông AHB và tam giác vuông AHC. Gọi HC = x (đơn vị: cm). Trong tam giác AHB: \[AH^2 + BH^2 = AB^2\] \[x^2 + 12^2 = 15^2\] \[x^2 + 144 = 225\] \[x^2 = 81\] \[x = \sqrt{81}\] \[x = 9\] Vậy, ta có HC = 9 cm. Tuy nhiên, để kiểm tra kết quả, ta cần tính lại theo phương pháp khác. Trong tam giác AHC: \[AH^2 + HC^2 = AC^2\] \[12^2 + x^2 = 41^2\] \[144 + x^2 = 1681\] \[x^2 = 1537\] \[x \approx \sqrt{1537}\] \[x \approx 39.20959157 \text{ cm}\] Vậy, chiều dài của HC là khoảng 39.21 cm. Nhưng để chính xác hơn, ta sẽ sử dụng công thức sau để tính chiều dài của HC: \[HC = \frac{AB \cdot AC}{BC}\] Ta biết rằng BC là cạnh đối với góc A trong tam giác ABC. Sử dụng định lý cosin trong tam giác ABC: \[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}\] Tính góc BAC bằng công thức sin: \[\sin{\angle BAC} = \frac{BH}{AB} = \frac{12}{15}=\frac{4}{5}\] Do đó, \[\cos{\angle BAC}=\sqrt{1-\sin^{2}{\angle BAC}}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}\] Thay vào công thức trên ta được: \[BC=\sqrt{(15)^{2}+(41)^{2}-2\times15\times41\times\frac{3}{5}}=40.\overline6.\] Cuối cùng, tính chiều dài của HC: \[HC=\frac{AB\times AC}{BC}=\frac{15\times41}{40.\overline6}=41.97618372363071.\] Vậy kết quả cuối cùng là $HC=41.97618372363071$ cm.