cho tam giác ABC có đường cao AH.Biết AH=12cm,CH=9cm,BH=16cm.Lấy M,N lần lượt là trung điểm của AH,BH a.Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông tại A b.Chứng minh rằng MN vuông tại A,đường cao Ah (H ∈ BC...

Thanh Phuong

 a) Xét tam giác AHB vuông tại H, có:

AH2 + HB2 = AB2 (định lý Pythagore)

Suy ra AB2 = 122 + 162 = 400.

Suy ra AB = 20 cm.

Tương tự, có: AC2 = AH2 + CH2 (áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHC).

Suy ra AC2 = 122 + 92 = 225.

Suy ra AC = 15 cm.

Có BC = CH + BH = 9 + 16 = 25 cm.

Trong tam giác ABC, nhận thấy AB2 + AC2 = BC2 (do 202 + 152 = 252 = 625).

Suy ra tam giác ABC vuông tại A (định lí Pythagore đảo).

b) Xét tam giác AHB có: 

M là trung điểm của AH

N là trung điểm của BH

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác AHB.

Do đó, MN // AB. Mà AB ⊥ AC (vì tam giác ABC vuông tại A).

Suy ra MN ⊥ AC.

Xét ΔACN có AH ⊥ CN (gt), MN ⊥ AC (cmt), AH ∩ MN = {M}.

Vậy M là trực tâm của ΔACN, do đó CM ⊥ AN.

c) Ta có SAMN =AM⋅HN2=AH2⋅BH22=AH⋅BH8=12⋅168=24(cm2).