tìm tất cả stn n để 2n+1 và 3n+1 là số chính phương và 2n+9 là số nguyên tố

Đây là một bài toán thuộc lớp bài toán tìm số nguyên thỏa mãn điều kiện cho trước. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần sử dụng kiến thức về số chính phương, số nguyên tố và các phép tính trên số nguyên. Bước 1: Xác định các biểu thức Chúng ta có ba biểu thức: - $2n+1$ là số chính phương - $3n+1$ là số chính phương - $2n+9$ là số nguyên tố Bước 2: Giải quyết từng biểu thức Đầu tiên, hãy xem xét biểu thức $2n+1$ và $3n+1$. Nếu cả hai đều là số chính phương, nghĩa là tồn tại các số tự nhiên m và k sao cho: - $2n + 1 = m^2$ - $3n + 1 = k^2$ Từ đó, ta có: - $m^2 - k^2 = n$ Nhưng theo công thức hiệu của hai bình phương, ta có: - $(m-k)(m+k) = n$ Vì vậy, m-k và m+k cần phải là những ước của n. Nhưng do m > k (vì 2n+1 > 3n+1), m-k sẽ là số dương và m+k sẽ lớn hơn n. Do đó, cặp duy nhất của (m-k, m+k) có thể tồn tại là (1, n). Từ đó ta suy ra được: - $m - k = 1$ - $m + k = n$ Giải hệ phương trình này, ta được: - $m = \frac{n+1}{2}$ - $k = \frac{n-1}{2}$ Do m và k là số tự nhiên, nên n phải là số lẻ. Bước 3: Kiểm tra điều kiện cho biểu thức cuối cùng Cuối cùng, chúng ta cần kiểm tra xem $2n+9$ có phải là số nguyên tố hay không. Điều này yêu cầu chúng ta kiểm tra từng giá trị của n để xem liệu biểu thức có phải là số nguyên tố hay không. Kết luận: Vì vậy, để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên lẻ của n sao cho $2n+9$ là số nguyên tố.