Toán 11 cánh diều 3

Toán 11 cánh diều 3 Câu 11. Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức $s(t)=t^3-3t^2+7t-2,$ trong đó $t>0$ và tính bằng giây và s là quãng đường chuyển động được của vật trong t giây tính bằng mét. Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng a) Tốc độ của vật tại thời điểm $t=2$ là 7(m / s) b) Gia tốc của vật tại thời điểm $t=2$ là $6(m/s^2)$ c) là $16m/s^2$ Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng $10(m/s^2)$ d) Thời điểm $t=1$ (giây) tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất Để giải bài toán này, ta cần tính vận tốc và gia tốc của vật chuyển động theo thời gian từ công thức $s(t)=t^3-3t^2+7t-2$. 1. Vận tốc của vật được xác định bằng đạo hàm của hàm quãng đường $s(t)$ theo thời gian: \[v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3-3t^2+7t-2) = 3t^2 - 6t + 7.\] 2. Gia tốc của vật được xác định bằng đạo hàm của vận tốc $v(t)$ theo thời gian: \[a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 6t + 7) = 6t - 6.\] Sau khi tính toán, ta có các kết quả sau: a) Vận tốc của vật tại thời điểm $t=2$ giây là: \[v(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 7 = 12 - 12 + 7 = 7 (m/s).\] b) Gia tốc của vật tại thời điểm $t=2$ giây là: \[a(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 (m/s^2).\] Không có thời điểm nào mà vận tốc bằng $10(m/s)$. d) Để xác định thời điểm mà vận tốc nhỏ nhất, ta cần giải phương trình $v'(t)=0$, tức là: \[v'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 6t + 7) = \frac{dv}{dt} = a(t) =0.\] Giải phương trình này để tìm ra giá trị của $t$ khiến cho vận tốc nhỏ nhất. Vậy, kết luận cuối cùng là: a) Vận tốc của vật tại thời điểm $t=2$ giây là $\boxed{7.00000000000000 (m/s)}$. b) Gia tốc của vật tại thời điểm $t=2$ giây là $\boxed{6.00000000000000 (m/s^2)}$. Không có thời điểm nào mà vận tốc bằng $10(m/s)$. d) Thời điểm mà vận tốc nhỏ nhất là $\boxed{1}$ giây. Câu 12. Chuyển động của một vật có phương trình $s(t)=4 ext{cos}(2 ext{π}t-rac ext{π}{12})(m),$ với t là thời gian tính bằng giây. Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng a) $s^ ext{'}(t)=-8 ext{πsin}(2 ext{π}t-rac ext{π}{12})$ b) $s^{ ext{''}}(t)=16 ext{π}^2 ext{cos}(2 ext{π}t-rac ext{π}{12})$ c) Vận tốc của vật tại thời điểm khi là $ ext{≈}6,505(m/s).$ $t=5(s)$ d) Gia tốc của vật tại thời điểm khi là $ ext{≈}152,533(m/s^2)$ $t=5(s)$ Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần tính đạo hàm của \(s(t)\) để tìm ra vận tốc và gia tốc của vật. a) Đầu tiên, chúng ta cần tính đạo hàm bậc nhất của \(s(t)\), tức là vận tốc của vật. Sử dụng quy tắc chuỗi và quy tắc đạo hàm của hàm cos, ta có: \[s'(t) = -4(2\pi)\sin(2\pi t - \frac{\pi}{12}) = -8\pi\sin(2\pi t - \frac{\pi}{12})\] Vậy mệnh đề a) là Đúng. b) Tiếp theo, chúng ta cần tính đạo hàm bậc hai của \(s(t)\), tức là gia tốc của vật. Sử dụng lại quy tắc chuỗi và quy tắc đạo hàm của hàm sin, ta có: \[s''(t) = -8\pi(2\pi)\cos(2\pi t - \frac{\pi}{12}) = -16\pi^2\cos(2\pi t - \frac{\pi}{12})\] Vậy mệnh đề b) là Sai (do dấu trừ). c) Để tính vận tốc của vật vào thời điểm \(t=5(s)\), chúng ta thay \(t=5\) vào công thức vận tốc \(s'(t)\) mà chúng ta đã tính ở trên: \[s'(5) = -8\pi\sin(2\pi*5 - \frac{\pi}{12}) \approx 6.505 (m/s)\] Vậy mệnh đề c) là Đúng. d) Cuối cùng, để tính gia tốc của vật vào thời điểm \(t=5(s)\), chúng ta thay \(t=5\) vào công thức gia tốc \(s''(t)\) mà chúng ta đã tính ở trên: \[s''(5) = -16\pi^2\cos(2\pi*5 - \frac{\pi}{12}) \approx -152.533 (m/s^2)\] Vậy mệnh đề d) là Sai (do dấu trừ).