Cho hình chóp đều S.ABCD , SA =AB=a. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)

Do $\displaystyle S.\ ABCD$ đều nên $\displaystyle SA=SB=SC=SD$. Mà $\displaystyle SA=AB=\ a$ nên các tam giác $\displaystyle SAB,\ SAD$ là tam giác đều
Gọi O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC, BD.
Xét tam giác SAC có $\displaystyle SA=SC$ nên tam giác SAC cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay $\displaystyle SO\ \bot AC$.
Xét tam giác SBD có $\displaystyle SD=SB$ nên tam giác SBD cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay $\displaystyle SO\ \bot \ \ BD$.
Do đó $\displaystyle SO\ \bot ( ABCD)$ nên $\displaystyle SO\ \bot AB$.
Kẻ $\displaystyle OH\ \bot AB$ tại H mà $\displaystyle SO\bot \ AB$. Khi đó $\displaystyle AB\bot \ ( SOH) .$ Suy ra$\displaystyle \ AB\bot \ SH.$
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SH và HO mà $\displaystyle (\widehat{SH,\ HO}) \ =\widehat{\ SHO} .$
Xét tam giác ABC có $\displaystyle OH$ là đường trung bình nên $\displaystyle OH\ =\frac{BC}{2} =\frac{a}{2}$
Xét tam giác SAH vuông tại H, CÓ $\displaystyle AH\ =\frac{AB}{2} =\frac{a}{2}$; $\displaystyle SA\ =\ a$ Khi đó SH = $\displaystyle \sqrt{SA^{2} -AH^{2}} =\sqrt{a^{2} -\left(\frac{a}{2}\right)^{2}} =\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Xét tam giác SHO vuông tại O, có $\displaystyle cos\ \widehat{SHO} \ =\frac{OH}{SH} =\frac{\sqrt{3}}{3}$
Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$