Cho p là số nguyên tố lớn hơn ba. CMR (p+17).(p+19) chia hết cho 24

Question

Yin · Accepted Answer

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên
$\displaystyle \Longrightarrow p+17;\ p+19$ là số chẵn
$\displaystyle \Longrightarrow ( p+17)( p+19) \ \vdots 8$
+ Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên suy ra $\displaystyle p\ =\ 3k\ +\ 1\ $hoặc$\displaystyle \ p\ =\ 3k\ +\ 2$ ($\displaystyle k\in N^{*}$)
+) Với$\displaystyle \ p\ =\ 3k\ +\ 1$
$\displaystyle \Longrightarrow ( p+17) .( p+19) \ =\ ( 3k+18) .( 3k\ +\ 20) =\ 3( k+6)( 3k+20) \ \vdots \ 3\ ( *)$
+) Với$\displaystyle \ p\ =\ 3k\ +\ 2$
$\displaystyle \Longrightarrow \ ( p+17) .( p+19) \ =\ ( 3k+19) .( 3k+21) =( 3k+19) .3.( k+7) \ \vdots \ 3\ ( **)$
Từ (*),(**) $\displaystyle \Longrightarrow ( p+17) .( p+19) \ \vdots 3$
$\displaystyle \Longrightarrow ( p+17) .( p+19) \ \vdots 24$

Timi · Answer

Đây là một bài toán thuộc lớp bài toán chứng minh trong số học. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần sử dụng kiến thức về số nguyên tố và tính chất của phép nhân.

Bước 1: Xác định yêu cầu của bài toán

Chúng ta cần chứng minh rằng $(p+17)(p+19)$ chia hết cho $24$ với $p$ là một số nguyên tố lớn hơn $3$.

Bước 2: Phân tích và giải quyết bài toán

Do $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$, nên $p$ không thể chia hết cho $2$ hoặc $3$. Do đó, $p$ có dạng $6k \pm 1$, với k là một số nguyên không âm.

Nếu p = 6k + 1, thì:

$(p+17)(p+19) = (6k+18)(6k+20)$

Vì cả hai số trong biểu thức trên đều chia hết cho 2, nên tổng của chúng cũng sẽ chia hết cho 4. Hơn nữa, do một trong hai số là bội của 3, tổng của chúng cũng sẽ chia hết cho 3. Do đó, $(p+17)(p+19)$ chia hết cho $24 = 2^3 * 3$.

Nếu p = 6k - 1, thì:

$(p+17)(p+19) = (6k+16)(6k+18)$

Tương tự như trên, $(p+17)(p+19)$ cũng sẽ chia hết cho $24$.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng $(p+17)(p+19)$ chia hết cho $24$ với mọi số nguyên tố $p > 3$.