mong có cả hình Câu 38. Cho hình chóp SS ABBCD có đáy S.ABCCD làhhnh tthoitââmOO cạh aa, gcc $\widehat{BAD}=60^0,$,đường thẳng SO vuông góc với (ABCD) và $SO=a.$ Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng,(SBC) bằng

Question

mong có cả hình Câu 38. Cho hình chóp SS  ABBCD có đáy S.ABCCD làhhnh tthoitââmOO   cạh aa,  gcc $\widehat{BAD}=60^0,$,đường thẳng SO vuông góc với (ABCD) và $SO=a.$ Khoảng cách từ điểm  A đến mặt phẳng,(SBC) bằng

_Xử Nữ_ · Accepted Answer

Vẽ OI$\displaystyle \bot $BC

Ta có d(A,(SBC)) = 2d(O,(SBC))

$\displaystyle \begin{cases}
\{SO\bot BC( doSO\bot ( ABCD))\
OI\bot BC
\end{cases} \Longrightarrow ( SOI) \bot BC$

Vẽ OH$\displaystyle \bot $SI ⟹ OH$\displaystyle \bot $BC⇒OH$\displaystyle \bot $(SBC)

⇒d(O,(SBC))=OH

Vì ΔABD đều ⟹ $\displaystyle OB=BD^{2} =a^{2} ,OC=AO=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

⟹ $\displaystyle OI\ =\ \frac{OB.OC}{BC} =\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Timi · Answer

Loại bài toán: Bài toán liên quan đến hình học không gian, cụ thể là khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong hình chóp.

Bước 1: Xác định vị trí tương đối của điểm A và mặt phẳng (SBC)

Trong hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, ta có SA = SB = SC = SD = a. Do SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SO là đường cao của tứ diện SABC.

Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) sẽ bằng khoảng cách từ A đến BC. Ta xét tam giác ABC có AB=AC=a và $\widehat{BAC}=60^0$. Theo công thức cosin, ta có:

$BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos(\widehat{BAC})$

$BC^2=a^2+a^2-2*a*a*cos(60^0)$

$BC=\sqrt{3}a$

Do SA vuông góc với BC nên ta áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm tới đường thẳng trong không gian để tính khoảng cách từ A tới BC:

$d(A,(SBC))=\frac{|SA*BC|}{\sqrt{BC^2+SA^2}}$

$d(A,(SBC))=\frac{|a*\sqrt{3}a|}{\sqrt{(a\sqrt{3})^2+a^2}}$

$d(A,(SBC))=\frac{\sqrt{3}a^2}{\sqrt{4a^2}}$

$d(A,(SBC))=\frac{\sqrt{3}a}{2}$

Vậy, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là $\frac{\sqrt{3}a}{2}$.