Giúp m voi Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng $(-30;30)$ của tham số m để mọi tiếp tuyến của đồ,thị hàm số $y=x^3-mx^2+(2m-3)x-1$ đều có hệ số góc dương?,Trả lời: không có giá trị của tham số m,Lời giải

Question

Giúp m voi Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng $(-30;30)$ của tham số m  để mọi tiếp tuyến của đồ,thị hàm số $y=x^3-mx^2+(2m-3)x-1$ đều có hệ số góc dương?,Trả lời: không có giá trị của tham số m,Lời giải

Kobt Gaming · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
y=x^{3} -mx^{2} +( 2m-3) x-1\
\Longrightarrow y'=3x^{2} -2mx+2m-3
\end{array}$
Gọi M($\displaystyle x_{0} ;y_{0}$) là điểm thuộc đồ thị hàm số
Khi đó để đồ thị hàm số của các tuyến tuyến có hệ số goc dương
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow y'( x_{0}) >0\
\Longrightarrow 3x_{0}^{2} -2mx_{0} +2m-3 >0\
\Longrightarrow \begin{cases}
a >0 & \
\Delta ' >0 &
\end{cases}\
\Longrightarrow \begin{cases}
3 >0( lđ) & \
m^{2} -3( 2m-3) >0 &
\end{cases}\
\Longrightarrow m^{2} -6m+9 >0\
\Longrightarrow ( m-3)^{2} >0( \ vô\ lí)\
\end{array}$
⟹ Không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài

Timi · Answer

Loại bài toán này là bài toán tìm tham số trong hàm số đa thức.

Đầu tiên, ta cần hiểu rằng hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm trên đồ thị hàm số chính là đạo hàm của hàm số tại điểm đó. Do đó, yêu cầu "mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-mx^2+(2m-3)x-1$ đều có hệ số góc dương" nghĩa là đạo hàm của hàm số luôn dương.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
$$
y&#x27; = 3x^2 - 2mx + (2m-3)
$$

Bước 2: Đặt $y&#x27;=0$ để tìm các giá trị x khiến cho đạo hàm bằng không.
$$
3x^2 - 2mx + (2m-3) = 0
$$
Giải phương trình trên ta được:
$$
x_{1,2} = \frac{ m \pm \sqrt{ m^2 - 3(2m-3) } }{3}
$$

Bước 3: Để $y&#x27;$ luôn dương thì $\Delta = m^2 - 4*3*(2*m-3) < 0$. Giải bất phương trình này ta được:
$$
9 < m < \frac{9}{2}
$$

Tuy nhiên, theo đề bài thì m phải thuộc khoảng $(-30;30)$ và là số nguyên. Do đó, ta cần tìm các giá trị nguyên của m trong khoảng $(9; \frac{9}{2})$. Nhưng không có số nguyên nào thuộc khoảng này.

Vậy, không có giá trị của tham số m thoả mãn yêu cầu của bài toán.