cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ các đường cao BE, CF. Gọi H là gaio điểm của BE và CF. Chứng minh rằng các tứ giác ÀHE và BFEC nội tiếp. Đường thẳng AO cắt tại đường trò...

a,  Ta có: $\displaystyle \widehat{AFH} =\widehat{AEH} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow E,F$ thuộc đường tròn đường kính AH
$\displaystyle \Longrightarrow $Tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn
Ta có: $\displaystyle \widehat{BFC} =\widehat{BEC} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow F,E$ thuộc đường tròn đường kính BC
$\displaystyle \Longrightarrow $Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn
b, Vì AO cắt đường tròn tại O nên AS là đường kính của (O)
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{ABS} =\widehat{ACS} =90^{0} \Longrightarrow SB\bot AB,\ SC\bot AC$
Lại có: $\displaystyle CH\bot AB,BH\bot AC$
Do đó $\displaystyle CH\parallel BS,BH\parallel CS$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{SBC} =\widehat{BCF} ,\widehat{SCB} =\widehat{CBE}$
Ta có: BFEC nội tiếp đường tròn $\displaystyle \Longrightarrow \widehat{EFH} =\widehat{EBC} ,\ \widehat{FEH} =\widehat{BCF}$
Do đó $\displaystyle \widehat{HFE} =\widehat{BCS} ,\widehat{HEF} =\widehat{SBC}$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow \vartriangle HEF\backsim \vartriangle SBC\\
\Longrightarrow \frac{HE}{SB} =\frac{HF}{SC} \Longrightarrow HF.SB=HE.SC
\end{array}$