Từ các chữ số 0 đến 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau sao cho tổng 4 chữ số đầu bằng tổng 4 chữ số cuối.

Giả sử có $\displaystyle 2$ bộ chữ số $\displaystyle ( a,b,c,d)$ và $\displaystyle ( a',b',c',d')$ thỏa mãn $\displaystyle a+b+c+d=a'+b'+c'+d'$ và các chữ số đó thuộc từ $\displaystyle 0$ đến $\displaystyle 7$
Khi đó số cách lập số tự nhiên thỏa mãn là $\displaystyle 4!.4!=576$ số
Ta có các cách chọn các bộ $\displaystyle ( a,b,c,d)$ là $\displaystyle ( 7,6,1,0) ,( 7,5,2,0) ,( 7,4,3,0) ,( 7,4,2,1) ,( 6,5,2,1) ,( 6,5,3,0) ,( 6,4,3,1) ,( 5,4,3,2)$ và ngược lại
$\displaystyle \Rightarrow $ Có $\displaystyle 14$ cách chọn các bộ
Mà thực tế thì có các trường hợp số $\displaystyle 0$ đứng đầu nên ta sẽ tìm số cách lập các số có $\displaystyle 7$ chữ số thỏa mãn tổng $\displaystyle 3$ chữ số đầu bằng tổng $\displaystyle 4$ chữ số sau và các chữ số từ $\displaystyle 1$ đến $\displaystyle 7$
Xét $\displaystyle 3$ chữ số đầu
Các cách chọn bộ $\displaystyle 3$ chữ số đầu là $\displaystyle ( 7,6,1) ,( 7,5,2) ,( 7,4,3) ,( 6,5,3)$
Từ đó số số thỏa mãn đề bài là:
$\displaystyle 4!.4!.14−3!.4!.4=7488$