Cho đường tròn (O) và dây AB không qua O, điểm M chuyển động trên cung lớn AB. Kẻ MH vuông góc với AB (H nằm giữa A và B). Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên MA, MB. a) Cmr: MEHF nội tiếp b)Cmr: ME.MA=MF.MB c) Xác định vị trí của điểm M trên cung lớn AB sao cho 1/MA +1/MB đạt gtnn ( Giải hộ mình câu này với các bạn)

Question

Cho đường tròn (O) và dây AB không qua O, điểm M chuyển động trên cung lớn AB. Kẻ MH vuông góc với AB (H nằm giữa A và B). Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên MA, MB. a) Cmr: MEHF nội tiếp b)Cmr: ME.MA=MF.MB c) Xác định vị trí của điểm M trên cung lớn AB sao cho 1/MA +1/MB đạt gtnn         ( Giải hộ mình câu này với các bạn)

do-binh-annguyen1 · Accepted Answer

a, Ta có: $\displaystyle \widehat{MEH} =\widehat{MFH} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow E,F$ thuộc đường tròn đường kính MH
$\displaystyle \Longrightarrow $Tứ giác MEHF nội tiếp đường tròn
b, Xét $\displaystyle \vartriangle EMH$ vuông tại E và $\displaystyle \vartriangle MAH$ vuông tại H có:
$\displaystyle \widehat{AMH} :$góc chung
Do đó $\displaystyle \vartriangle EMH\backsim \vartriangle HMA$ (g.g)
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{ME}{MH} =\frac{MH}{MA} \Longrightarrow MH^{2} =ME.MA\ ( 1)$
Xét $\displaystyle \vartriangle MHF$ vuông tại F và $\displaystyle \vartriangle HMB$ vuông tại H có:
$\displaystyle \widehat{BMH} :$góc chung
Do đó $\displaystyle \vartriangle MHF\backsim \vartriangle MBH$ (g.g)
$\displaystyle \Longrightarrow \frac{MF}{MH} =\frac{MH}{MB} \Longrightarrow MH^{2} =MB.MF\ ( 2)$
Từ (1) và (2) có: $\displaystyle MA.ME=MB.MF$

Timi · Answer

Loại bài toán: Bài toán về hình học không gian, đường tròn và tính chất của tam giác trong đường tròn.

Giải bài toán:

a) Chứng minh tứ giác MEHF nội tiếp

Ta có $\angle{MEH} = 90^{\circ} - \angle{MHA} = \angle{MAB}$ (do $MH \perp AB$)

Và $\angle{MFH} = 90^{\circ} - \angle{MHB} = \angle{MBA}$ (do $MH \perp AB$)

Do đó, $\angle{MEH} + \angle{MFH} = \angle{MAB} + \angle{MBA}=180^{\circ}$

Theo định lý tứ giác nội tiếp, tứ giác MEHF là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $ME.MA=MF.MB$

Do tứ giác MEHF nội tiếp nên ta có $ME.MA=MF.MB$ theo tính chất của tứ giác nội tiếp.

c) Xác định vị trí của điểm M trên cung lớn AB sao cho $\frac{1}{MA} +\frac{1}{MB}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Đặt $x=MA$, $y=MB$. Theo bài ra ta có $x.y=R^{2}$ (với R là bán kính của đường tròn)

Ta cần tìm min của hàm số $f(x,y)=\frac{1}{x} +\frac{1}{y}$

Thay $y=\frac{R^{2}}{x}$ vào hàm số ta được:

$f(x)=\frac{1}{x} + \frac{x}{R^{2}}$

Đạo hàm của hàm số trên là: $f&#x27;(x)=-\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{R^{2}}$

Gán $f&#x27;(x)=0$ ta tìm được $x=R$, và do đó $y=R$.

Vậy, điểm M cần tìm nằm trên cung lớn AB sao cho MA=MB=R.

Vương Zunle · Answer

{"userId":5042473,"userName":"Phạm Hồng Quân (Kata)"}

a) xét tg MEHF có

∠MEH = ∠MHF =90o(gt)

có tổng 2 góc đối ∠MEH + ∠MFH=90o+90o=180o

→MEHF nt

b) Xét ΔMHA vuông ≡ H, đường cao HE

→MH²=ME.MA (hệ thức lượng) (1)

Xét ΔMHB vuông ≡ H, đường cao HF

→MH²=MF.MB (hệ thức lượng) (2)

Từ (1) và (2)→ ME.MA=MF.MB

Cho đường tròn (O) và dây AB không qua O, điểm M chuyển động trên cung lớn AB. Kẻ MH vuông góc với AB (H nằm giữa A và B). Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên MA, MB. a) Cmr: MEHF nội t...