cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O,cạnh a và góc BAD =120° đường cao SO=a. tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SBC)

Gọi I là trung điểm của BC, kẻ $OH \perp SI$ thì OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Ta có: $BC \perp SI$ và $BC \perp SO$ nên $BC \perp (SOI)$. Suy ra $OH \perp BC$. Tam giác SBC cân tại O (vì SO = OB = OC) nên I là trung điểm của BC thì cũng là trực tâm của tam giác SBC. Suy ra $SI \perp OH$. Vậy OH là đường cao của tứ diện vuông SOBC. Ta có: $SO = a$, $SI = \sqrt{SO^2 + OI^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$. $BC = 2BI = 2a\sin{60^o} = a\sqrt{3}$. $S_{SBC} = \frac{1}{2}BC.SO = \frac{1}{2}a\sqrt{3}.a = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. $V_{SOBC} = \frac{1}{3}SO.S_{SBC} = \frac{1}{3}a.\frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{6}$. $OH = \frac{3V_{SOBC}}{BC.SI} = \frac{3.\frac{a^3\sqrt{3}}{6}}{a\sqrt{3}.\frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{a}{ \sqrt{5}} = \frac{a\sqrt{5}}{5}$. Vậy khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) là $\frac{a\sqrt{5}}{5}$.