Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Trên tia đối của các tia
BD và CE lần lượt lấy các điểm I và K sao cho BI= AC ; CK =AB .
a) Chứng minh rằng: tam giác ABI = tam giác KCA.
b) Chứng minh rằng: AIK là tam giác vuông cân.
c) Qua các điểm I và K , ta kẻ các đường thẳng song song với BC , cắt đường thẳng AH lần lượt tại
các điểm P và Q . Chứng minh rằng: IP= AQ .

Question

Accepted Answer

a) Xét $\displaystyle \vartriangle ABD\ có:\ \widehat{BAD} +\widehat{ABD} =90^{o}$ .
Xét $\displaystyle \vartriangle ACE\ có:\ \widehat{CAE} +\widehat{ACE} =90^{o}$.
$\displaystyle \Rightarrow \widehat{ABD} =\widehat{ACE}$.(1)
Ta có:
$\displaystyle \begin{cases}
\widehat{ABD} +\widehat{ABI} =180^{o}\
\widehat{ACE} +\widehat{ACK} =180^{o}
\end{cases}$. (2) (hai góc kề bù)
Từ (1) và (2) $\displaystyle \Rightarrow \widehat{ABI} =\widehat{ACK}$.
Xét $\displaystyle \vartriangle ABI\ và\ \vartriangle KCA\ có$:
$\displaystyle \begin{cases}
AB=CK\ ( gt)\
\widehat{ABI} =\widehat{ACK} \ ( cmt)\
AC=BI\ ( gt)
\end{cases}$.
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow \vartriangle ABI=\vartriangle KCA( c.g.c)( đpcm)( *)\
\
\end{array}$.
b) Từ (*) $\displaystyle \Rightarrow \begin{cases}
AI=AK & ( 3)\
\widehat{AIB} =\widehat{KAC} & ( 4)
\end{cases}$.
Ta có: $\displaystyle \widehat{ABD} \ là\ góc\ ngoài\ của\ \vartriangle ABI\ nên$:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{ABD} =\widehat{IAB} +\widehat{AIB}\
Kết\ hợp\ ( 4) \Rightarrow \widehat{ABD} =\widehat{IAB} +\widehat{KAC}
\end{array}$.
Mà $\displaystyle \widehat{ABD} +\widehat{BAC} =90^{o}$.
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow \widehat{IAB} +\widehat{KAC} +\widehat{BAC} =90^{o}\
\Rightarrow \widehat{IAK} =90^{o}
\end{array}$.
Kết hợp (3) $\displaystyle \Rightarrow \vartriangle IAK\ là\ tam\ giác\ vuông\ cân( đpcm)$.

Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Trên tia đối của các tia BD và CE lần lượt lấy các điểm I và K sao cho BI= AC ; CK =AB . a) Chứng minh rằng: tam giác ABI = tam giác KCA...