Bài 4:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.
a) Chứng minh rằng
Vì AK là đường phân giác của tam giác AHC, nên .
Do KE // AC và E thuộc AB, theo định lý về đường thẳng song song cắt hai đường thẳng, ta có .
Vì và , suy ra .
b) Chứng minh
Ta có KE // AC và E thuộc AB, nên .
Vì AK là đường phân giác của , nên .
Do đó, .
Xét hai tam giác và :
- (chứng minh trên).
- AK là cạnh chung.
- (vì KE // AC).
Vậy (góc - cạnh - góc).
c) Chứng minh BI là tia phân giác của
Vì KE // AC và I là giao điểm của KE và AH, nên .
Do (chứng minh ở phần a), nên .
Vì , nên BI là tia phân giác của .
d) Chứng minh
Kẻ đường thẳng vuông góc với AK tại K cắt AC tại D.
Vì AK là đường phân giác của , nên .
Do đó, .
Vì và là góc ngoài của , nên .
Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.
Bài 5:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.
a) Chứng minh :
- Xét hai tam giác và :
- Cạnh là cạnh chung.
- (vì ).
- (vì là đường phân giác của ).
Vậy, theo trường hợp góc - cạnh - góc (G-C-G), ta có .
b) So sánh AD và DC:
- Vì là đường phân giác của , theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:
- Do vuông tại , nên .
- Từ đó suy ra , dẫn đến .
- Vậy .
c) Chứng minh 3 điểm B, D, I thẳng hàng:
- Gọi là giao điểm của và .
- là trung điểm của .
Để chứng minh thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng nằm trên đường thẳng .
- Xét tam giác , là trung điểm của .
- Do và nằm trên , nên là chân đường cao từ xuống .
- Vì là trung điểm của , nên nằm trên đường trung bình của tam giác .
- Đường trung bình của tam giác nối trung điểm của một cạnh với trung điểm của cạnh đối diện sẽ song song với cạnh còn lại và bằng nửa độ dài cạnh đó.
- Do đó, là đường trung bình của tam giác , và nằm trên đường thẳng này.
Vậy, 3 điểm thẳng hàng.