Bài 3 (3,0 điểm). Cho ∆ABC cân tại A( Â < 90°). Gọi H là trung điểm của BC. a) Chứng minh AΑΗΒ = ДАНС b) Kẻ HM AB (M∈ AB), HN LAC (N∈ AC). Chứng minh: HM = HN c) Chứng minh MN 1 AH. d) Gọi P là giao đi...

Phưn Hà (Phương) Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng bước một:

a) Chứng minh ( \triangle AHB = \triangle AHC ):

Vì ( \triangle ABC ) cân tại A, ta có ( AB = AC ).

H là trung điểm của BC, do đó ( BH = CH ).

Góc ( \widehat{BAH} = \widehat{CAH} ) vì chúng là hai góc kề bù với góc ( \widehat{BAC} ) và ( \triangle ABC ) cân tại A.

Vậy ( \triangle AHB = \triangle AHC ) theo nguyên tắc cạnh huyền - góc nhọn.

b) Chứng minh ( HM = HN ):

Từ ( \triangle AHB = \triangle AHC ) đã chứng minh ở trên, ta có ( \widehat{AHB} = \widehat{AHC} ) (hai góc tương ứng).

( HM ) và ( HN ) là đường cao của ( \triangle AHB ) và ( \triangle AHC ) tương ứng, do đó ( \widehat{MHM} = \widehat{NHN} = 90^\circ ).

( \triangle HMH ) và ( \triangle HNH ) có:

( HB = HC ) (chứng minh trên).

( \widehat{AHB} = \widehat{AHC} ) (chứng minh trên).

( \widehat{MHM} = \widehat{NHN} ) (đều bằng ( 90^\circ )).

Vậy ( HM = HN ) theo nguyên tắc cạnh huyền - góc nhọn.

c) Chứng minh ( MN \perp AH ):

Vì ( HM = HN ) và ( H ) là trung điểm của ( BC ), ( MN ) là đường trung bình của ( \triangle ABC ).

Đường trung bình trong tam giác cân luôn vuông góc với đường cao, do đó ( MN \perp AH ).

d) Tìm giao điểm của tia AB và tia NH:

Để tìm giao điểm P của tia AB và tia NH, ta cần xác định vị trí của N trên AC và sau đó kéo dài AB và NH để chúng cắt nhau. Điểm cắt nhau đó sẽ là điểm P cần tìm.

Đối với Q, giao điểm của tia AC và một tia khác không được xác định rõ trong câu hỏi, nên ta cần thêm thông tin để xác định Q.