Trên một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có diện tích 25m^2, người chủ lấy một phần đất để trồng cỏ. Biết phần đất trồng cỏ này có dạng hình chữ nhật với hai đỉnh đối diện là A và H, với H thuộc cạnh BD. Số tiền lớn nhất mà người chủ cần chuẩn bị để trồng cỏ là bao nhiêu, với phí trồng cỏ là 70.000 đồng/m^2

Question

Accepted Answer

Đặt $\displaystyle \frac{BH}{BD} =x\Rightarrow \frac{HD}{BD} =1-x$
Ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\frac{S_{DEH}}{S_{ABD}} =\left(\frac{HD}{BD} ight)^{2} =( 1-x)^{2}\
\frac{S_{BHF}}{S_{ABD}} =\left(\frac{BH}{BD} ight)^{2} =x^{2}
\end{array}$

Diện tích phần trồng cỏ là:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
S_{trồng\ cỏ} =S_{ABD} -S_{DEH} -S_{BHF}\
S_{trồng\ cỏ} =S_{ABD} .\left[ 1-( 1-x)^{2} -x^{2} ight]\
S_{trồng\ cỏ} =\frac{1}{2} S_{ABCD} .\left( 1-1+2x-x^{2} -x^{2} ight)\
S_{trồng\ cỏ} =\frac{1}{2} .25.\left( -2x^{2} +2x ight)\
S_{trồng\ cỏ} =25.\left( -x^{2} +x ight)\
S_{trồng\ cỏ} =25.\left[ -\left( x-\frac{1}{2} ight)^{2} +\frac{1}{4} ight]
\end{array}$
Ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
-\left( x-\frac{1}{2} ight)^{2} \leqslant 0\forall x\
\Rightarrow S_{trồng\ cỏ} \leqslant \frac{25}{4} \forall x
\end{array}$
Vậy $\displaystyle max\ S_{trồng\ cỏ} =\frac{25}{4} \Leftrightarrow x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow $H là trung điểm của BD

Số tiền lớn nhất mà người chủ cần chuẩn bị để trồng cỏ là:
$\displaystyle \frac{25}{4} imes 70\ 000=437\ 500$ (đồng)

Trên một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có diện tích 25m^2, người chủ lấy một phần đất để trồng cỏ. Biết phần đất trồng cỏ này có dạng hình chữ nhật với hai đỉnh đối diện là A và H, với H thuộc cạnh BD. S...