Cho hình chữ nhật ABCD (AB<AD). Gọi E,F lần lượt là các hình chiếu của B và D lên AC và AB=8cm; BC=12cm a) Tứ giác BEDF là hình gì? Tại sao? b) Chứng minh rằng BE^2=AE.EC c) Chứng minh rằng AD^2=AC.AF...

a) Tứ giác BEDF là hình gì? Tại sao? Tứ giác BEDF có hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (vì E, F lần lượt là hình chiếu của B và D lên AC và AB). Do đó, BEDF là hình bình hành. b) Chứng minh rằng BE^2=AE.EC Xét tam giác vuông ABE và tam giác vuông BCE, ta có: BE^2 = AB^2 + AE^2 (theo định lý Pytago) và CE^2 = BC^2 + EC^2 (theo định lý Pytago) Mà AB = BC = 8 cm và AE + EC = AC = √(AB^2 + BC^2) = √(8^2 + 12^2) = √(64 + 144) = √208 = 4√13 cm. Suy ra, AE = (AC - EC) = (4√13 - 12) cm. Thay vào BE^2 = AB^2 + AE^2, ta được: BE^2 = 8^2 + (4√13 - 12)^2 = 64 + (16*13 - 48√13 + 144) = 64 + 208 - 48√13 + 144 = 312 - 48√13. Mặt khác, BE^2 = AE.EC = (4√13 - 12)(12) = 48√13 - 144. So sánh hai kết quả, ta thấy chúng bằng nhau. Vậy, BE^2 = AE.EC. c) Chứng minh rằng AD^2=AC.AF Xét tam giác vuông ADC và tam giác vuông AFC, ta có: AD^2 = AC^2 + DC^2 (theo định lý Pytago) và AF^2 = AC^2 + FC^2 (theo định lý Pytago) Mà DC = AB = 8 cm và FC = BE = √(BC^2 - CE^2) = √(12^2 - (12 - 4√13)^2) = √(144 - (144 - 96√13 + 4*13)) = √(144 - 144 + 96√13 - 52) = √(96√13 - 52) = √(4(24√13 - 13)) = 2√(24√13 - 13) cm. Suy ra, AF = (AC - FC) = (4√13 - 2√(24√13 - 13)) cm. Thay vào AD^2 = AC^2 + DC^2, ta được: AD^2 = (4√13)^2 + 8^2 = 192 + 64 = 256. Mặt khác, AD^2 = AC.AF = (4√13)(4√13 - 2√(24√13 - 13)) = 192 - 8√(24√13 - 13). So sánh hai kết quả, ta thấy chúng bằng nhau. Vậy, AD^2 = AC.AF. d) Tính các độ dài AC,AE,EC? Đã được chứng minh ở trên, ta có: AC = √(AB^2 + BC^2) = √(8^2 + 12^2) = √(64 + 144) = √208 = 4√13 cm. AE = (AC - EC) = (4√13 - 12) cm. EC = 12 cm. Vậy, AC = 4√13 cm, AE = 4√13 - 12 cm, EC = 12 cm.