Cho tam giác ABC nhọn , các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H . Chứng minh :
a. tam giác HBF đồng dạng tam giác HCE
b. HB·HE=HF·HC=HA·HD
c. EH là tí phân giác của góc DEF

Question

haczthienzbaozlinhzlinhz-yeu-cac-bae · Accepted Answer

a) Xét tam giác HBF vuông tại F và tam giác HCE vuông tại E có $\displaystyle \widehat{FHB} =\widehat{EHC}$ nên tam giác FHB ~ tam giác EHC
b) Vì tam giác FHB ~tam giác EHC nên HF.HC=HE.HB
Xét tam giác HDB vuông tại D và tam giác HEA vuông tại E có $\displaystyle \widehat{BHD} =\widehat{AHE}$ nên tam giác HDB ~ tam giác HEA nên HE.HB=HD.HA
Vậy HD.HA=HF.HC=HB.HE
c) Xét tam giác BDH vuông tại D và tam giác BEC vuông tại E có chung $\displaystyle \widehat{HBD}$ nên tam giác HDB ~ tam giác HEC nên $\displaystyle \frac{HB}{BD} =\frac{BC}{EB}$
Xét tam giác BHC và tam giác BDE có
Chung $\displaystyle \widehat{HBD}$
$\displaystyle \frac{BH}{BD} =\frac{BC}{BE}$
Nên tam giác BHC ~ tam giác BDE nên $\displaystyle \widehat{BCH} =\widehat{BED} =\widehat{BAH} =\widehat{BEF}$
Nên EH là phân giác $\displaystyle \widehat{FED}$

Timi · Answer

a. Chứng minh tam giác HBF đồng dạng tam giác HCE

Xét tam giác HBF và tam giác HCE, ta có:

∠HBF = ∠HCE (cùng phụ với góc BAC)
∠HFB = ∠HEC (cùng phụ với góc ABC)

Do đó, theo góc-góc, tam giác HBF đồng dạng tam giác HCE.

b. Chứng minh HB·HE=HF·HC=HA·HD

Theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:

HB/HC = BF/CE (1)
HF/HE = BF/CE (2)

Từ (1) và (2), ta có:

HB·HE = HF·HC (3)

Lại có:

HA/HD = AD/DF (4)
HF/HA = DF/AD (5)

Từ (4) và (5), ta có:

HA·HD = HF·HA (6)

Từ (3) và (6), ta có:

HB·HE = HF·HC = HA·HD

c. Chứng minh EH là tí phân giác của góc DEF

Xét tam giác HBE và tam giác HCE, ta có:

∠HBE = ∠HCE (theo chứng minh ở câu a)
∠BHE = ∠CHE (do cùng bằng góc ABC)

Do đó, theo góc-góc, tam giác HBE đồng dạng tam giác HCE.

Suy ra:

BE/CE = BH/CH (7)

Lại có:

BE/CE = DE/DF (8)

Từ (7) và (8), ta có:

BH/CH = DE/DF

Do đó, EH là tia phân giác của góc DEF.

Vậy, ta đã chứng minh được:

a. Tam giác HBF đồng dạng tam giác HCE
b. HB·HE=HF·HC=HA·HD
c. EH là tia phân giác của góc DEF.

Cho tam giác ABC nhọn , các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H . Chứng minh : a. tam giác HBF đồng dạng tam giác HCE b. HB·HE=HF·HC=HA·HD c. EH là tí phân giác của góc DEF