Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Câu 4 (7,5 điểm). Cho đường tròn (O;R) cố định và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn,$(O;R).$ . Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB,AC tới đường tròn (O;R)(B,C là các tiếp điểm). Qua,A vẽ đường thẳng cố định cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm phân biệt I và E ( I nằm giữa hai,điểm A,E và $\widehat{EBC}

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Câu 4 (7,5 điểm). Cho đường tròn (O;R) cố định và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn,$(O;R).$ . Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB,AC tới đường tròn (O;R)(B,C là các tiếp điểm). Qua,A vẽ đường thẳng cố định cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm phân biệt I và E ( I nằm giữa hai,điểm A,E và $\widehat{EBC}<90^0).$ Gọi H là giao điểm của AO và BC. Qua H vẽ đường thẳng (d),song song với BE, biết (d) cắt các đường thẳng BI,BA lần lượt tại Q và N. Đường thẳng BE,cắt đường thẳng AO tại K . Gọi M là giao điểm của hai đưnggttẳnng AQ và BK.,a) Chứng minh rằng $\frac{BI}{CI}=\frac{BE}{CE}.$,b) Chứng minh rằng HB là đường phân giác của $\widehat{NHM}.$,c) Vẽ đường tròn $(P;R_1)$ thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm I và E . Từ A vẽ hai tiếp tuyến,AD, AJ với đường tròn $(P;R_1)(D,J$ là các tiếp điểm). Gọi T là giao điểm của hai đường thẳng,DJ và AE . Chứng minh đường tròn đường kính TP luôn đi qua 2 điểm cố định.,Câu 5 (1,0 điểm). Trong phòng có 121 người, biết mỗi người quen với ít nhất 81 người khác.,Chứng minh rằng trong phòng phải có 4 người từng đôi một quen nhau.

Nguyễn Thảo Nguyênhg2 · Accepted Answer

Bài 5:

Do trong phòng có 100 người, mỗi người quen ít nhất 67 người còn lại nên số người mà người đó không quen nhiều nhất là : 100-67-1 =32 (người)

Ta giả sử một người bất kì trong 100 người đó là A.Nếu ta loại những người mà A quen ra khỏi phòng thì còn ít nhất 68 người(67 người và A) .

Ta lại giả sử trong 68 người còn lại trong phòng (khác A) là B. Nếu ta loại những người B không quen ra khỏi phòng thì trong phòng sẽ còn ít nhất 68 - 32=36 người trong đó có A và B.

Bạn làm tương tự như vậy thêm C và D nữa.

Trong 4 người còn lại ta giả sử người khác A,B,C là D thì khi đó trong phòng có 4 người A,B,C và D suy ra trong 4 người đó từng đôi một quen nhau.

Timi · Answer

Câu 4 
a) Chứng minh rằng $\frac{BI}{CI}=\frac{BE}{CE}.$

Ta có $\widehat{BAC} = \widehat{BIC}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó).

Tương tự, $\widehat{ABC} = \widehat{BIE}$.

Suy ra $\Delta BAC \sim \Delta BIE$ (g-g).

Do đó, $\frac{BI}{CI} = \frac{BE}{CE}$.

b) Chứng minh rằng HB là đường phân giác của $\widehat{NHM}.$

Ta có $\widehat{HBN} = \widehat{HAB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó).

Tương tự, $\widehat{HMN} = \widehat{HAB}$.

Suy ra $\widehat{HBN} = \widehat{HMN}$.

Do đó, HB là đường phân giác của $\widehat{NHM}$.

c) Vẽ đường tròn $(P;R_1)$ thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm I và E . Từ A vẽ hai tiếp tuyến
AD, AJ với đường tròn $(P;R_1)(D,J$ là các tiếp điểm). Gọi T là giao điểm của hai đường thẳng
DJ và AE . Chứng minh đường tròn đường kính TP luôn đi qua 2 điểm cố định.

Gọi M là trung điểm của TP. Ta có $AM = MP = \frac{TP}{2}$.

Do đó, M thuộc đường tròn đường kính TP.

Mặt khác, ta có $\widehat{TAP} = \widehat{TJP}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó).

Tương tự, $\widehat{TAP} = \widehat{TID}$.

Suy ra $\widehat{TJP} = \widehat{TID}$.

Do đó, J, I, D thẳng hàng.

Vậy đường tròn đường kính TP luôn đi qua 2 điểm cố định là I và E.

Câu 5 
Để chứng minh rằng trong phòng phải có 4 người từng đôi một quen nhau, chúng ta sẽ sử dụng phản chứng. Giả sử không có 4 người nào từng đôi một quen nhau.

Mỗi người quen với ít nhất 81 người khác. Nếu không có 4 người nào từng đôi một quen nhau, thì mỗi người có thể quen với nhiều nhất 3 người khác. Vì vậy, tổng số mối quan hệ quen biết là:

$$121 	imes 81 = 9721$$

Nhưng nếu mỗi người chỉ quen với 3 người khác, thì tổng số mối quan hệ quen biết là:

$$121 	imes 3 = 363$$

Điều này là vô lý, vì 363 không thể bằng 9721. Điều này có nghĩa là chúng ta đã giả sử sai, và phải có 4 người từng đôi một quen nhau.

Vậy, trong phòng phải có 4 người từng đôi một quen nhau.