Ông Nam cần xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không nắp để phục vụ cho việc tưới cây trong vườn. Do các điều kiện về diện tích vườn, ông Nam cần bể có thể tích là 36m3, đáy bể có chiề...

Gọi chiều rộng của đáy bể là $x$ (m), chiều dài của đáy bể là $2x$ (m), chiều cao của bể là $h$ (m). Theo đề bài, ta có thể tích của bể là $V = x \cdot 2x \cdot h = 36$, hay $2x^2h = 36$. Từ đó suy ra $h = \frac{36}{2x^2} = \frac{18}{x^2}$. Diện tích xây dựng của bể là tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy. Diện tích xung quanh là $2(x + 2x)h = 6xh$, diện tích đáy là $x \cdot 2x = 2x^2$. Vậy tổng diện tích xây dựng là $6xh + 2x^2 = 6x\frac{18}{x^2} + 2x^2 = \frac{108}{x} + 2x^2$. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \frac{108}{x} + 2x^2$ với điều kiện $0 < x \leq 4$. Đạo hàm của $f(x)$ là $f'(x) = -\frac{108}{x^2} + 4x$. Cho $f'(x) = 0$ ta được $-\frac{108}{x^2} + 4x = 0$, hay $4x^3 = 108$, suy ra $x^3 = 27$, hay $x = 3$. Ta có $f''(x) = \frac{216}{x^3} + 4 > 0$ với mọi $x > 0$, nên hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x = 3$. Thay $x = 3$ vào công thức tính $h$, ta được $h = \frac{18}{3^2} = 2$. Vậy chiều cao bể là 2m để tổng chi phí là nhỏ nhất.